Matematické Fórum

Aquabellla · 12. 06. 2011 20:33

Zdravím, radím kamarádce s příklady na přijímačky a zasekla jsem se asi na trivialitě, ale nevím jak dál.

Původní zadání: $(x^2 - 3x) log (x - 2) < 0$
Definiční obor: $x > 2$
To se dá samozřejmě upravit na $log (x - 2)^{x^2 - 3x} < 0$
Aby byla levá strana záporná, tak musí být argumentem v intervalu (0; 1)
$0 < (x - 2)^{x^2 - 3x} < 1$
Rozdělím si to na dvě různé nerovnice.
První:
$(x - 2)^{x^2 - 3x} < 1$
$(x - 2)^{x^2 - 3x} < (x - 2)^0$
$x^2 - 3x < 0$
Takže $x \in (0; 3)$
Druhá:
$0 < (x - 2)^{x^2 - 3x}$ ale jak řešit tuto nerovnici?

LukasM · 12. 06. 2011 20:38

↑ Aquabellla:
Nebylo by jednodušší místo té úpravy hned na začátku pouvažovat o součinu dvou čísel (kdy je kladný a kdy záporný)?

Dana1 · 12. 06. 2011 20:38

↑ Aquabellla:

Môžem sa mýliť, ale keď umocňuješ kladné číslo, nemal by byť výsledok vždy kladný?

Hanis · 12. 06. 2011 20:41

Já bych na to šel takhle: našel bych si nulové body pro l $(x^2 - 3x) log (x - 2) < 0$ $ pak bych bádal nad věcma jako jestli má ten logaritmus smysl, jestli bude nabývat kladných/záporných hodnot a pak věci jako součin dvou kladných/záporných čísel atd...

Aquabellla · 12. 06. 2011 20:44

↑ LukasM:
Jak to myslíš?

↑ Dana1:

No jo, máš pravdu, jsem to ale blbá. Ale takhle by to znamenalo, že řešením by byl interval (2; 3) a přitom řešení nemá existovat (i WA mi to tak hodil)

LukasM · 12. 06. 2011 20:49

↑ Aquabellla:
Myslím to tak, jak naznačuje ↑ Hanis:. Co víš o číslech a,b, pokud platí $ab<0$ (o jejich znaménkách)?
A potom už jen:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jinak na okraj, už ta tvoje první nerovnice není dobře vyřešená, (x-2) může být menší než jedna, a v tom případě by bylo potřeba otočit znaménko nerovnosti. Nicméně vůbec nebude potřeba ji počítat.

Aquabellla · 12. 06. 2011 20:52

↑ LukasM:

Jo takhle, to mě vůbec nenapadlo. Buď je a>0 a b<0 nebo a<0 a b>0.

PS: u té nerovnice jsem předpokládala, že x>2 (dle Df logaritmu)

LukasM · 12. 06. 2011 20:54 — Editoval LukasM (12. 06. 2011 20:55)

↑ Aquabellla:
Ano, přesně tak, tím se ti to zjednodušší na o něco jednodušší problém.

PS: To jsem si všiml, ale ten základ je (x-2), takže to nestačí. Kdy je $x-2<1$ ?

Aquabellla · 12. 06. 2011 21:03

↑ LukasM:

$x^2 - 3x <0$ => $x \in (0; 3)$
$log (x - 2) > 0$ => $x > 3$

$x^2 - 3x >0$ => $x \in (-\infty; 0) \cup (3; \infty)$
$log (x - 2) < 0$ => $x \in (2; 3)$

Takže průnikem je vždy prázdní množina. Už mi to je jasné, díky moc :-)

LukasM · 12. 06. 2011 21:14

↑ Aquabellla:
Ano, je to přesně tak. Jinak když si opravíš ten postup v tom svém původním řešení, a pak si uvědomíš to co píše ↑ Dana1:, tedy že ta nerovnost s nulou platí vždy, dostaneš se ke stejnému výsledku (i když podle mého názoru o dost komplikovaněji).

Děkovat není za co, zrovna tobě jsem pomohl moc rád. Zasloužíš si to (podle mého) víc než spousta ostatních co se tu ptají.

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2011 20:33

Logaritmická nerovnice

#2 12. 06. 2011 20:38

Re: Logaritmická nerovnice

#3 12. 06. 2011 20:38

Re: Logaritmická nerovnice

#4 12. 06. 2011 20:41

Re: Logaritmická nerovnice

#5 12. 06. 2011 20:44

Re: Logaritmická nerovnice

#6 12. 06. 2011 20:49

Re: Logaritmická nerovnice

#7 12. 06. 2011 20:52

Re: Logaritmická nerovnice

#8 12. 06. 2011 20:54 — Editoval LukasM (12. 06. 2011 20:55)

Re: Logaritmická nerovnice

#9 12. 06. 2011 21:03

Re: Logaritmická nerovnice

#10 12. 06. 2011 21:14

Re: Logaritmická nerovnice

Zápatí