Matematické Fórum

↑ check_drummer: Hraje to nějakou roli? Tak ať je transcendentní nad patřičným okruhem/tělesem, jak už to u polynomů bývá...

Skrytý text:
Co třeba polynomy ? Ty snad všude. Byla-li by k mání konečná charakteristika, tak snad i další polynomy by se daly najít -- jen tipuju, nemám na to teď čas řešit.

Myšlenky:
Argumenty F se rovnají pro x=2 nebo x=1. Pro ta vychází F(0)=0 nebo 1, F(-1)=0 nebo 1.
Zřejmě konstantní funkce =0 nebo =1 vyhovuje. Předpokládejme dále nekonstantní polynom.

1)Pro x=0 máme buď a) F(0)=0=F(-2) nebo b) F(0)=1 a F(-2)=+-1.
2)Koeficient u nejvyšší mocniny x musí být 1 (dle rovnosti polynomů).
3)Rovněž mi vychází koeficient u druhé nejvyšší mocniny roven n (je-li nejvyšší mocnina x^n).
4)Zkoumejme, zda nějaký lineární polynom nemůže splňovat uvedenou podmínku - je jediný a sice tvaru "x+1" (koeficient u x musí být 1 dle 2) a absolutní člen se pak snadno odvodí).
5)Pokud G,H splňují uvedený vztah, pak jej splňuje i jejich součin G.H, tedy řešením jsou všechny polynomy tvaru pro i >= 1 přirozené.
6) Platí-li 1a), pak F má absolutní člen = 0.
7) Platí-li 1b) Pak má f absolutní člen = 1.


...to be continued

↑ check_drummer:

Zaujímavé riešenie..Ďakujem

V oficiálnom riešení stojí:

Mám najprv vyriešiť rovnosť F(x^2) = F^2(x) a potom pomocou nej a substitúcie y=x-1 dostanem riešenie (x+1)^n. Alebo tak nejak

Akosi sa mi nedarí tú substitúciu napasovať. Riešenie pre  F(x^2) = F^2(x) je x^n

Téma je sice vyřešené, ale úplné řešení tu ještě nevidím a úloha je to zajímavá, tak pro změnu moje úvahy.
Předpokládám, že pracujeme s polynomy s reálnými koeficienty. Já bych na to šel asi přes zápis polynomu pomocí součinu kořenových činitelů.

Jak už někdo psal, vedoucí koeficient polynomu je od pohledu 1, takže se s ním dál nebudu otravovat. Taky si, než začnu, v zápisu posunu x, aby se mi na to lépe koukalo (čistě otázka vkusu, nemá na úlohu vliv). Budu tedy hledat polynomy, kde .

Až na nějaké ty konstatní případy zapíšu náš polynom stupně n jako   kde jsou kořeny, ne nutně různé. (násobnost je zbytečné extra zkoumat). To, že polynom můžu takto zapsat je vlastně taky přímý důsledek Bezoutovy věty.
Podobně zapíšu   ,    .
Tyto dva polynomy G, H se budou rovnat právě když budou mít stejné kořeny (s odpovídající nasobností), budu tedy zkoumat, kdy to nastane.
Kořeny G budou zřejmě naše , kořeny H budou takové, že .
Pokud bude , pak máme hezkou kvadratickou rovnici a
Pokud to štěstí nemáme, zůstaneme u  .

Teď pár postřehů. Z reálného se vylíhnou dva (resp. jeden dvojnásobný) kořeny H, reálné nebo komplexní. Z komplexního (tedy ) ale reálný kořen H nikdy nevznikne. Pokud bude m reálných, bude mít G 2m reálných kořenů (resp. # * násobnost) a 2m reálných kořenů potřebuji i pro H. Proto nutně , abych měl nezáporný diskriminant v té kvadr. rovnici a měl tím pádem dost reálných kořenů H.
Kdyby ale zase , pak by mi v H vylezl kořen < -1 a musel by být i kořenem G, potažmo F, což nelze. Z reálných tedy zbývá jen -1, která zřejmě už funguje.

Jediný reálný kořen, který může F mít je tedy -1.


Co se týče komplexních kořenů, tam mě nenapadá nic chytřejšího, než zkoumat řešení té rovnice .
Z rovnosti imaginárních částí     a po dosazení do reálné části a pár úpravách 
   (chceme v reálné, takže minus odmocnina by neměla smysl).
Pro každou dvojici a,b tak dostáváme dvě různá řešení:   a   .Každému z celkových m komplexních kořenů F jsem tedy jednoznačně přiřadil dva kořeny H. Protože ale má platit H=G a G má všechny kořeny aspoňdvojnásobné po dvou stejné, potřeboval bych spárovat i kořeny H. Potřeboval bych tedy vždy najít aspoň dvě různá , která dají při stejném stejné řešení . To se ale za žádných podmínek nepodaří, protože derivováním zjistíme, že jako funkce a je na R prostá.

Takže konstantní polynomy 0, 1 a jsou podle mě opravdu jediné splňující podmínku

\\docela rád bych ale viděl nějaké elegantnější řešení, hlavně k těm komplexním kořenům.

BakyX napsal(a):

Je vidieť, že mocnina na pravej strane vznikne iba pri súčte súčinov prvých dvoch členov a podľa binomickej vety je zrejmé, že koeficient pri mocnine bude rovný .

Jestli jsem tě správně pochopil, tak problém bude tady. ti nevyplivne jen x^n, ale všechny mocniny x mezi 1 a n a (hlavně mezi k a n). A
Jinak ano, porovnávání koeficientů je taky způsob, ikdyž u téhle úlohy jsem v tom neviděl nic pěkného. Dostal jsem se asi tak daleko jako ↑ check_drummer:, pak už jsem se v sumách s kombinačními čísly patlat nechtěl. Ale možná tam je nějaká finta, na kterou jsem nepřišel.

EDIT: na levé straně taky nevidím důvod, proč by měl být koeficient u nula.

↑ BakyX:

Prosím..Môže sa na to niekto pozrieť ?

↑ BakyX:
Tou substitucí vlastně dostaneš - pro G(x)=F(x-1) , tj. , tj. , tj. G(x)=x^n a tedy F(x)=(x+1)^n.

Máme něco ukázat o polynomu F (konkrétně ).

Toto tvrzení převedeme na tvrzení o polynomu G, který splňuje pro všechna z, že G(z)=F(z-1). {schválně používám jiné písmenko, aby to nemátlo}

Tedy rovnost se odnikud nevzala a nikdo na začátku netvrdí, že platí, ta se má dokázat.

Jak převedeme tvrzení o polynomu F na tvrzení o polynomu G? No protože G(z)=F(z-1), tak také F(u)=G(u+1).

Proto je (roli tady hraje ) a podobně na pravé straně vznikne .

Tvrzení o F je tak převedeno na tvrzení o G, a to . Klidně pišme a máme proto dokázat, pro jaké polynomy G platí . To je snadné a převod zpět "do F" je v mém značení jen dosazování do jednoduchých substitucí pro y a u.

Asi jsem to psal zbytečně podrobně, ale je postup z knížky už teď jasný?

EDIT: Přes PM jsem se od jeleny dověděl, že jsi ještě na základce, což mě hodně udivilo. Proto jsem napsal podrobnější vysvětlení než se možná v sekci Zajímavých úloh z algebry bežně dělá.

To už je bohužel tak trochu úděl pokročilejších knih -- jen naťuknout a předpokládá se dostatečně zdatný čtenář.

Jen pro ilustraci, jeden příklad z mnoha: Když jsme na semináři z teorie čísel studovali knihu Irelanda a Rosena A Classical Introduction to Modern Number Theory a dostali se tam už kousek dál, tak si pořád pamatuji jeden důkaz. Začínal oblíbeným "It is easy to see." No, touto větou jsme strávili více než dva semináře a bez odborného vedení přednášejícího si myslím, že nikdo z posluchačů by neměl šanci "tu jednoduchost vidět".