Matematické Fórum

Mythic · 23. 06. 2011 19:38

ahoj,
chci se jen zeptat: Jak by vypadala analyticky kruznice v prostoru?
Zkousel jsem si takove ty zvlastni pripady, kdy je ta kruznice rovnobezna s nekterou zakladni rovinnou xy, xz nebo zy. Ale jak by vypadala rovnice kruznice, kdyby ta kruznice byla napr o 45° naklonena oproti rovine xy ?
Diky

Alivendes · 23. 06. 2011 19:46

↑ Mythic:
Kružnice v prostoru je rotační koule ne ? Vznikne rotací kružnice(kruhu) kolem osy x.

pietro · 23. 06. 2011 19:56

↑ Mythic:Ahojte...a nebol by to rez guloveho povrchu s rovinou iducou cez stred gule?

teolog · 23. 06. 2011 19:57

↑ Mythic:
Nejsem si jistý, ale řekl bych, že by taková kružnice měla jít vyjádřit parametricky.

Mythic · 23. 06. 2011 20:14

↑ Alivendes: Nevim jestli jsem te pochopil, ale myslim ze mluvis o kulove plose: (x-m)^2 + (y-n)^2 + (z-q)^2=r^2. Tu nemam namysli. Chci skutecne kruznici, ktera bude jen naklonena. Bude zrkatka nalezet nejake rovine, ktera nebude rovnobezna z zadnou z osovych rovin: xy, xz, zy.

↑ teolog: To by asi davalo smysl. Jako napr u primky v prostoru.

Alivendes · 23. 06. 2011 20:32

↑ Mythic:
Už chápu co myslíš :)
Možná by to šlo v polárních souřadnicích, ale opravdu netuším, jak tohle provést.

teolog · 23. 06. 2011 20:35

↑ Mythic:
Našel jsem tohle. Vypadá to trochu komplikovaněji, než jsem si myslel.

Alivendes · 23. 06. 2011 20:44

↑ teolog:
Pěkné :)

Mythic · 23. 06. 2011 20:53 — Editoval Mythic (23. 06. 2011 20:55)

↑ teolog: Diky za ochotu :D Na cizojazycnem foru jsem to ani nezkousel hledat, urcite se na to podivam.

Nicmene zkusil jsem to podle puvodniho napadu s parametrem: na konkretnim pripadu jsem si vyjadril rovinu parametricky a nejakou kulovou plochu obecnou rovnici, nasledne jsem udelal jejich prunik a po zobecneni mi vysla rovnice typu: $Ap^2 + Bt^2 + Cpt + Dp + Et + F = 0$ Myslíte, že je to reálné? :D

Trochu mi to totiz pripomina jakousi rovnici, kterou jsem nedavno videl a tam se jednalo o rotaci elypsi v rovine.

Jinak tedy myslim, ze klicem by mohl byt prave ten smyseny clen...

check_drummer · 23. 06. 2011 22:12

Co je to t,p?

pietro · 24. 06. 2011 12:18

↑ check_drummer: Ahoj, myslím, že išiel touto cestou ..guľa a parametricky rovina...

Rumburak

Vyjděme z elementárních geomerických představ.

V prostoru $\mathbb{R}^3$ nechť je dán bod $S$ , nenulový vektor $\vec {n} = (a, b, c)$ a dále číslo $r > 0$ . Chceme parametricky vyjádřít
kružnici $k$ , jejímž středem je bod $S$ , poloměrem číslo $r$ a která leží v rovině, jejímž normálovým vektorem (kolmým k oné
rovině) je $\vec {n}$ .

Bod $X\in \mathbb{R}^3$ leží na kružnici $k$ právě tehdy, je-li splněna dvojice podmínek $\vec {n}(X - S) = 0, \,\,| X - S | = r$ . Takže,
položíme-li $\vec{p} = \frac{1}{r}(X-S)$ , dostáváme vyjádření

$k = \{ X\in \mathbb{R}^3 : X = S + r\vec{p} \,, \vec {n}\cdot\vec {p} = 0\,, |\vec {p}| = 1\}$ .

Stačí tedy paramerisovat vektory

(1) $\vec p = (u, v, w)$ , pro něž $\vec {n}\cdot\vec {p} = 0, |\vec {p}| = 1$ .

Podmínky z (1) znamenají soustavu rovnic $au + bv + cw = 0, \,\,u^2 + v^2 + w^2 = 1$ .

Vektorů (1) je nekonečně mnoho. Umístíme-li je do počátku soustavy souřadnic, pak jejich "koncové body" opisují okolo počátku
jednotkovou kružnici ležící v rovině $\gamma$ o rovnici $ax + by + cz = 0$ . Vyberme z nich dva, které navíc budou na sebe kolmé,
a označme je $\vec {e}, \vec {f}$ . Jimi bude v rovině $\gamma$ určena kartéská soustava souřadnic, v níž libovolný z vektorů (1) bude mít vyjádření
ve tvaru $\vec p = \xi \vec e + \eta \vec f$ , kde $\xi^2 + \eta^2 = 1$ , jak snadno zjistíme rozepsáním rovnice $\vec p \cdot \vec p =1$ .

Položíme-li $\xi = \cos t , \,\,\eta = \sin t$ , kde $t \in [0, 2\pi)$ , máme $\vec p = \cos t \cdot \vec e + \sin t \cdot \vec f$ atd.

Klíčem k parametrisaci kružnice v prostoru tedy je nalézt pomocné vektory $\vec {e}, \vec {f}$ dle výše uvedených podmínek.