Matematické Fórum

BakyX · 25. 06. 2011 14:17

Zdravím..Skúste vyriešiť túto peknú úlohu :)

Nech $a$ , $b$ označujú dva rôzne korene mnohočlenu $x^4+x^3-1$ . Dokáž, že ich súčin je koreňom mnohočlenu $x^6+x^4+x^3-x^2-1$ .

Veľa šťastia.

VaK · 15. 07. 2011 21:25

Dobrý den.
Pomocí Wolfu můžeme najít kořeny obou polynomů. Označíme-li kořeny polynomu 4.stupně
$x_1 , x_2 , x_3 , x_4$ a kořeny polynomu 6.stupně $t_1 , t_2 , t_3 , t_4 , t_5,t_6$
zjistíme, že platí $t_1=x_1*x_2 , t_2=x_1*x_3 , t_3=x_1*x_4 , t_4=x_2*x_3 , t_5=x_2*x_4 , t_6=x_3*x_4$ . To sice nelze považovat za důkaz ale naznačuje cestu.
Podle věty o vztahu kořenů a koeficientů polynomu platí:
$x_1+x_2+x_3+x_4=-1 , x_1*x_2+x_1*x_3+x_1*x_4+x_2*x_3+x_3*x_4=0$
$x_1*x_2*x_3+x_1*x_2*x_4+x_1*x_3*x_4+x_2*x_3*x_4=0 , x_1*x_2*x_3*x_4=-1$
Máme tedy dokázat, že platí podobné vztahy pro polynom 6.stupně:
$t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6=0 , t_1*t_2+ ... +t_5*t_6=1 , t_1*t_2*t_3+ ... +t_4*t_5*t_6=-1$
$t_1*t_2*t_3*t_4+ ... +t_3*t_4*t_5*t_6=-1 , t_1*t_2*t_3*t_4*t_5+ ... +t_2*t_3*t_4*t_5*t_6=0$
$t_1*t_2*t_3*t_4*t_5*t_6=-1$ , když za $t_i$ dosadíme příslušná $x_j*x_k$ .
První a poslední vztah je evidentní. Další lze z rovnic pro $x_i$ odvodit také,
použijeme k tomu ještě vztahy $x_i^4+x_i^3-1=0$ pro i=1,2,3,4 . Chce to jen
trpělivost, hodně papíru a nesplést se.
Zajímali by mne dvě věci: jak se na takovou zajímavou úlohu příjde a když toto je
jednodušší, jaká je ta složitější.

xxMari · 09. 08. 2011 16:22 — Editoval xxMari (09. 08. 2011 16:23)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Olin · 10. 08. 2011 17:35

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

musixx · 13. 08. 2011 09:19 — Editoval musixx (13. 08. 2011 10:22)

To je celkem přímá úloha na použití elementárních symetrických polynomů.

Polynom více proměnných $x_1,x_2,\dots,x_n$ nad tělesem $T$ je symetrický, jestliže když libovolně permutujeme "neznámé", tak se "nic nestane".

Elementární symetrické polynomy v $T[x_1,x_2,\dots,x_n]$ jsou
$\sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n$
$\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n$
a tak dál až k $\sigma_n=x_1x_2\cdots x_n$ (dá se říct, že $\sigma_i$ je součet všech možných součinů po $i$ proměnných).

Poznámka: úplně přesně bychom měli psát $\sigma_i(x_1,x_2,\dots,x_n)$ , ale držme se pro přehlednost jen toho $\sigma_i$ a $n$ berme jako fixní.

Vietovy vztahy pro všechny kořeny $x_1,x_2,\dots,x_n$ libovolného polynomu jedné proměnné jsou proto až na střídající se znaménko vlastně přímo elementární symetrické polynomy v $x_1,x_2,\dots,x_n$ .

No a když uvážíme množinu sestavenou z původních $x_1,x_2,\dots,x_n$ , která je opět "symetrická" ve smyslu permutací jako výše, a hledáme-li polynom s těmito "novými" kořeny, pak Vietovy vztahy pro jeho kořeny budou opět symetrické polynomy proměnných $x_1,x_2,\dots,x_n$ .

Klíčová vlastnost symetrických polynomů n proměnných teď je, že libovolný takový polynom $f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ se dá zapsat jako polynom $g(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n)$ a existuje v zásadě jednoduchý a přímočarý postup jak najít koeficienty polynomu $g$ .

--------------------

No a to je všechno. Někdo se tady ptal, jak takovou úlohu vymyslet. Odpovím: Není proto nijak těžké a ani početně dlouhé najít zcela obecně normovaný polynom šestého stupně, jehož kořeny jsou čísla $x_1x_2$ , $x_1x_3$ , až $x_3x_4$ , kde $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ a $x_4$ jsou kořeny polynomu $x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D$ . Koeficienty budou nějaké výrazy obsahující čísla $A$ , $B$ , $C$ , $D$ a $E$ . Pak jen stačí vybrat taková, aby jak polynom 4., tak polynom 6. stupně byly netriviální a vypadaly "hezky".

Obdobně se dají řešit úlohy, kde hledaný polynom má mít třeba kořeny $x_i^3$ (pak bude 4. stupně), nebo $x_i+x_j$ ( $i\neq j$ -- 6. stupeň), nebo třeba trochu absurdní $2x_i-x_j$ (nejmenší možný stupeň takového polynomu by pak pro $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ a $x_4$ byl 12 -- to už by bylo dost otrockého počítání, ale může sloužit třeba jako námět někomu, kdo trochu umí programovat a chce se lehce procvičit) atd.

--------------------

Snad aspoň někdo bude mít radost z toho, že jsem se tady tak trochu víc rozepsal.

Olin · 14. 08. 2011 15:36

↑ musixx:
Viz mé řešení :-) Ostatně, celý můj postup byl v podstatě strojový, á la

Code:

SymmetricReduction[
 SymmetricPolynomial[5, {a b, a c, a d, b c, b d, c d}], {a, b, c, d}]

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2011 14:17

Korene mnohočlenov (jednoduchšia úloha)

#2 15. 07. 2011 21:25

Re: Korene mnohočlenov (jednoduchšia úloha)

#3 09. 08. 2011 16:22 — Editoval xxMari (09. 08. 2011 16:23)

Re: Korene mnohočlenov (jednoduchšia úloha)

#4 10. 08. 2011 17:35

Re: Korene mnohočlenov (jednoduchšia úloha)

#5 13. 08. 2011 09:19 — Editoval musixx (13. 08. 2011 10:22)

Re: Korene mnohočlenov (jednoduchšia úloha)

#6 14. 08. 2011 15:36

Re: Korene mnohočlenov (jednoduchšia úloha)

Code:

Zápatí