Matematické Fórum

yustme · 28. 06. 2011 14:53

Ahoj, potřebuju pomoct spočítat podezřelé body u rovnice zadané implicitně. Vím jak se to dělá, ale nevím jak je mam dost z týhle rovnice.

Udělal jsem to tak, že jsem zderivoval F'x a z toho si vyjádřil y. To mi vyšla taková vcelku hezká odmocnina. Ale nějak jsem se podle toho nedopočítal.

Stačí mě jenom postup jak vyřešit tu rovnici pro podezřelé body. Díky moc za pomoc!

Rumburak · 28. 06. 2011 15:45

↑ yustme:
Mohlo by pomoci prostudovat si tento text.

yustme · 28. 06. 2011 15:57

↑ Rumburak:
Nějak jsem v tom nenašel řešení mýho problému. Třeba koukám špatně. Já vím jak se hledají podezřelé body z extrémů. Vím jak se zjistí jaký to je extrém.

Ale mám problém, že z týhle rovnice nemůžu zjistit ty podezřelý body. Když položím derivci y'=-F'x/F'y rovnu nule, tak to z toho nedokážu vyjádřit. Výjde mi rovnice jejíž řešení neznám.

Rumburak

↑ yustme:
Je potřeba zderivovat podle x rovnici $0 = F(x, y(x))$ . Tím dostaneme

(1) $0 = F_x(x, y(x)) + F_y(x, y(x))\cdot y'(x)$

( $F_x$ resp. $F_y$ je parciální derivace fce F podle x resp. y). Do (1) dosadíme $y'(x) = 0$ , takže to, co zbyde, bude rovnice
$0 = F_x(x, y(x))$ . Hledáme, pro která x je splněna.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

yustme · 28. 06. 2011 20:07

X=0 jsem z toho taky dostal, ale podle druhý derivace to neni extrém.
Výsledek je tohle:

A já bych rád věděl jak k tomu dospěju. Zatím moc díky za pomoc.

Rumburak · 29. 06. 2011 10:36

↑ yustme:
Provedl jsem opravy a doplňky do skryté čísti příspěvku ↑ Rumburak: (aby to bylo na jednom místě).

Honzc · 29. 06. 2011 13:02 — Editoval Honzc (29. 06. 2011 13:30)

↑ yustme:
Rovnice
$(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$
je rovnicí Bernoulliovy lemniskáty,

která má v polárních souřadnicích rovnici
$\varrho=\pm\sqrt{2\cos2\varphi}$
Potom
$x=\sqrt{2cos2\varphi}\cos\varphi$
$y=\sqrt{2cos2\varphi}\sin\varphi$
Jednoduchou derivací y (podle $\varphi$ ) a položením derivace 0 dostaneme:
$\cos\varphi(2\cos^2\varphi-1-2sin^2\varphi)=0$
a tedy
$1.\cos\varphi=0, \varphi=\pm\frac{\pi}{2}$
$2.2\cos^2\varphi-1-2\sin^2\varphi=0,cos\varphi=\pm\frac{\sqrt3}{2}, \varphi=\pm\frac{\pi}{6}$
V bodu [0,0] ( $\varphi=\pm\frac{\pi}{2}$ ) je dvojnásobný inflexní bod a maxima a minima jsou:
maxima:
$x=\pm\sqrt{2\cos(\frac{\pi}{3})}\cos(\frac{\pi}{6})=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y=\sqrt{2\cos(\frac{\pi}{3})}\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$
minima:
$x=\pm\sqrt{2\cos(\frac{-\pi}{3})}\cos(\frac{-\pi}{6})=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y=\sqrt{2\cos(\frac{-\pi}{3})}\sin(\frac{-\pi}{6})=-\frac{1}{2}$