Matematické Fórum

Gero · 19. 07. 2011 19:50

Zdravím mám čtvercovou matici 5x5 a nevím si s ní rady, počítal sem ji podle rozvoje řádku/sloupce -laplacem. Ale asi dělám pořád někde chybu, tak bych rád požádal o pomoc.
matice je:
0 -1 0 2 0
1 0 1 -1 0
0 2 0 1 -1
-1 1 0 2 1
1 3 -1 1 0

odečetl jsem první řádek od čtvrtého a udělal rozvoj podle prvního řádku, jenže jak dál? Díky

halogan · 19. 07. 2011 20:22

Tím odpočtem si moc nepomůžeš, protože máš stále jen 3 nuly.

Zkušel jsi ty 2 matice 4x4 dávat do stroje, abys věděl, ve které máš chybu?

Gero · 19. 07. 2011 21:02

↑ halogan: No jo, to je pak těžko, když sem udělal chybu už na začátku v kupeckých počtech, jenže v tom případě nevím, jak se zbavit té matice 5x5, protože mě nenapadá žádná úprava.

halogan · 19. 07. 2011 21:09

Chyba to neni, jen rikam, ze muzes rovnou udelat rozvoj. Nezapominej na umocneni (-1) u jednotlivych subdeterminantu.

Podle ceho tedy rozvijis (klidne po tom odecteni, to je fuk) a jak ti to vychazi? A stroje jsi zkousel?

Jestli ti to nevychazi, tak po nas musis zacit hazet nejake mezivysledky, at muzem najit chybu.

Gero · 19. 07. 2011 21:48

Stroje jsem nezkoušel, protože abych pravdu řekl, netuším, co tím myslíte. Rozvoj jsem doposud dělal vždy za skutečnosti, že jsem měl v řádku/sloupci jeden nenulový člen, jinak jsem to ani nedělal a neznám ten postup. Jenže teď jsem ztracen, když si tu matici nejsem schopen takto upravit.

halogan · 19. 07. 2011 21:58

Ono upravit to tak, abychom někde dostali 4 nuly a 1 nenulový člen... to určitě půjde a nejspíš to bude stát i za to.

Pokud byste to upravovat nechtěl, tak rozvíjíte podle libovolného řádku/sloupce — jak jste říkal, znáte to pro jeden nenulový člen, jde to však i pro více nenulových členů. Tento rozvoj najdete na wiki nebo třeba u nás.

Strojema jsem myslel různé online kalkulačky, kam naházíte svoji matici a ono vám to v mžiku spočítá determinant. Stačí do Googlu zadat "matrix calculator". Najde vám to i inverzní matici (pokud existuje) a podobné náročné věci.

Gero · 19. 07. 2011 22:13

Já bych to pravě upravovat chtěl, jenže si nad tím lámu hlavu již delší dobu a východisko jsem nenašel, zřejmě si sedím na vedení a to už jsem si párkrát poodsedl. Ano tady na webu jsem různé rozvoje našel, i Vámi udán zdroj, jenže tam je maximálně 4x4 matice a vždy užíván rozvoj u jednoho nenulového členu. Jistě kalkulátory jsem našel, ale mě ani tak nejde o výsledek, jakožto o postup.

rleg · 19. 07. 2011 22:33

↑ Gero:Jestli to chceš mít jednoduché, tak prostě musíš vždycky do řádku či sloupce dostat až ja jeden člen samé nuly. Při sčítání se nemusís omezovat pouze na řádky, sčítat můžeš i sloupce. Ta matice se dá vyřešit ve 2 krocích. Sečteš 2. a 4. sloupec a po LP rozvoji to zredukuješ na matici

1 1 -1 0
0 0 5 -1
-1 0 4 1
1 -1 7 0

pak jen sečteš 2. a 3. řádek a můžeš dělat znovu LP rozvoj

Gero · 19. 07. 2011 22:48

↑ rleg: Děkuji za reakci, ale asi je na mě již opravdu pozdě, potřebuju to sice do zítřka vyřešit, ale když sečtu 2ř a 4ř tak mi z toho vyjde 0 1 0 2 0
1 -1 1 -1 0
0 3 0 1 -1
-1 3 0 2 1
1 4 -1 1 0
podle čeho tedy mám udělat rozvoj?

halogan · 19. 07. 2011 22:49

Rozvoj s více nenulovými členy je stejný jako s jedním. Prostě z definice. Když máš třeba dva nenulové členy, na pozicích (a,b) a (c,d), rozvoj je

$(-1)^{a+b} \, m_{a,b} \,\text{det} M_{a,b} + (-1)^{c+d} \, m_{c,d} \, \text{det} M_{c,d}$

Kde $M$ s indexy je jen redukovaná matice o daný řádek a sloupec a $m$ je ten pivotový člen, podle kterého rozvíjíme.

rleg · 19. 07. 2011 22:55

↑ Gero:druhý sloupec nejdřív vynásobíš 2 a až pak přičteš 4. sloupec - to abys tam dostal nulu. Vyjde ti řádek
0 -1 0 0 0

Gero · 19. 07. 2011 23:24

Tak sem zase asi někde udělal chybu...vynásobil jsem 2 2. sloupec a následně sečetl sem 4. sloupcem
0 0 0 2 0
1 -1 1 -1 0
0 5 0 1 -1
-1 4 0 2 1
1 7 -1 1 0
poté udělal LP
2*(-1)^3+4 matice
1 -1 1 0
0 5 0 -1
-1 4 0 1
1 7 -1 0
tady jsem sečetl 2ř + 3ř
1 -1 1 0
-1 9 0 0
-1 4 0 1
1 7 -1 0
udělal LP
-2*1(-1)^3+4 matice
1 -1 1
-1 9 0
1 7 -1
tady sem použil sarrusovo pravidlo a determinant mi vyšel -48, ale měl vyjít -24. Vidíte někdo chybu? Děkuju všem za rady a pomoc.

halogan · 19. 07. 2011 23:29

Ano, nemůžeš jen tak sloupec vynásobit dvěma, tím měníš hodnotu determinantu. Resp. můžeš, ale musíš vědět, jak ho měníš.

Jsou 3 elementární úpravy matic, které se používají (výměná řádků, násobení řádků nenulovou konstantou a přičtení k-násobku jednoho řádku k druhému), ale jen ta třetí nemění determinant matice.

Gero · 19. 07. 2011 23:33

A to zřejmě není správně že? Když dostanu zadaný příklad a mám vypočítat determinant, tak toto, co jsem provedl bude bráno jako chybné? Jak to tedy mám jinak udělat?:/

halogan

Máte minimálně dvě možnosti:

1) Udělat to tak, jako výše, jen s tím rozdílem, že poznamenáte, že jste sloupec násobil dvěma, takže vám determinant vyjde dvojnásobný a na konci budete musit dělit dvěma.

2) Místo toho prvního úkonu uděláte to, že dvojnásobek druhého sloupce přičtete ke sloupci čtvrtému. To pak bude bez problému.

Matematické Fórum

#1 19. 07. 2011 19:50

Determinant 5x5

#2 19. 07. 2011 20:22

Re: Determinant 5x5

#3 19. 07. 2011 21:02

Re: Determinant 5x5

#4 19. 07. 2011 21:09

Re: Determinant 5x5

#5 19. 07. 2011 21:48

Re: Determinant 5x5

#6 19. 07. 2011 21:58

Re: Determinant 5x5

#7 19. 07. 2011 22:13

Re: Determinant 5x5

#8 19. 07. 2011 22:33

Re: Determinant 5x5

#9 19. 07. 2011 22:48

Re: Determinant 5x5

#10 19. 07. 2011 22:49

Re: Determinant 5x5

#11 19. 07. 2011 22:55

Re: Determinant 5x5

#12 19. 07. 2011 23:24

Re: Determinant 5x5

#13 19. 07. 2011 23:29

Re: Determinant 5x5

#14 19. 07. 2011 23:33

Re: Determinant 5x5

#15 19. 07. 2011 23:35 — Editoval halogan (19. 07. 2011 23:35)

Re: Determinant 5x5

Zápatí