Matematické Fórum

Tscar · 10. 08. 2011 13:49

Zdar, potřebuji pomoct s několika příklady, k výsledkům jsem dobral, ale především příkladu s vnitřním tlakem v trubce dobral, si nejsem jistý správností.

1) Hliníkový drát průměru 1mm a délky 2m je vodorovně natažen a na koncích upevněn. Ke středu drátu bylo zavěšeno závaží 0,25kg. O kolik poklesl střed drátu? Youngův modul pružnosti v tahu hliníku je 71 GPa.

2) Závaží o hmotnosti 200g se na závěsu otáčí v horizontální rovině s frekvencí 120 ot/min. Určete elastické prodloužení závěsu, je-li známo, že tahová síla 10N prodlouží závěs o 1cm. Počáteční délka závěsu je 50cm, hmotnost závěsu a účinek tíhy zanedbat.

3) Drát původní délky 10m je na jednom konci upevněn a na druhém napínán silou velikosti 200N, čímž se prodlouží o 4 mm. Určit původní průměr drátu a jeho změnu při prodloužení, když materiál, ze kterého je drát zhotoven, má modul pružnosti v tahu 200GPa a ve smyku 75GPa.

4) Ocelový sloup tvaru hranolu a délky 5m, s příčnými hranami délky 10cm, je namáhán tahovým napětím 0,1MPa ve směru délky. Jak se změní objem tohoto sloupu protažením? Modul pružnosti oceli v tahu je 200GPa a ve smyku 79GPa.

5)Jak velký vnitřní tlak vydrží skleněná trubka, jejíž vnější poloměr je 4mm a vnitřní 3,5mm? Mez pevnosti skla je 30MPa.

6) Jakou délku by musel mít ocelový drát kruhového průřezu zavěšený na jednom konci, aby se roztrhl vlastní vahou? Hustota oceli je 7800kg/m3, mez pevnosti oceli je 800MPa.

Mé výsledky: 1) h=0,94cm (průhyb jsem bral jako lineární (tzn. pythágorova věta), jinak nevím)
2)/delta l=1,6cm
3)předpokládám, že je to v podstatě stejný problém jako 4), tzn. /epsilon příčná=(d-d0)/d0
4)/delta V=11,7mm2
5)p=0,7MPa (pravděpodobně špatně)
6)l=10 455m

Budu rád, pokud si někdo najde chvilku a přepočítá to a nebo alespoň poradí s tou skleněnou trubkou. Díky.

FliegenderZirkus · 10. 08. 2011 22:18

↑ Tscar:

Zkusím něco napsat k té skleněné trubce, i když letmým pohledem budou problémy i jinde (např. hned v první úloze). V každém zadání by mělo být uvedeno, jaká zjednodušení můžeme použít (tím nekritizuju tvůj dotaz, předpokládám, že zadání je přepsáno úplně). Nejjednodušším výpočetním modelem je tzv. membrána. Tento model předpokládá v materiálu rovinnou napjatost a pracuje jen se střední tloušťkou stěny. Jindy se používá model tlustostěnné nádoby, kde už myslím uvažujeme trojosou napjatost, ale o tom moc nevím. I v ostatních uvedených úlohách se řešení podstatně liší podle toho, kolik toho zanedbáme (např. vlastní tíhu). Teď konkrétně:
Pro rotačně symetrické membrány jde odvodit Laplaceovu rovnici
$\frac{\sigma_1}{R_1}+\frac{\sigma_2}{R_2}=\frac{p}{s}$ , kde $R_{1,2}$ jsou hlavní poloměry křivosti, $\sigma_{1,2}$ napětí v příslušných směrech, $p$ tlak v nádobě a $s$ tloušťka stěny. V případě trubky je zřejmě jedna z hlavních křivostí nulová (a tedy poloměr křivosti nekonečný), zvolme $R_1=\infty$ , za druhý vezmu aritmetický průměr vnitřního a vnějšího poloměru: $R_2=r=3,75$ mm. Odtud plyne dosazením do Laplaceovy rovnice jedno hlavní napětí, nazývané tečné: $\sigma_2=\frac{pr}{s}$ . Druhé hlavní napětí (osové) můžeme odhadnout podle obrázku:

$\sigma_1=\frac{\pi r^2p}{2\pi rs}=\frac{pr}{2s}$ .
Na základě předpokladu rovinné napjatosi je $\sigma_3=0$ . Další postup se mírně liší podle toho, kterou hypotézu pevnosti použijeme. O skle toho moc nevím, ale kdyby šlo použít stejné teorie jako pro ocel, tak dostaneme např. podle teorie $\tau_{max}$ :
$\sigma_{red}=\sigma_{max}-\sigma_{min}=\sigma_2-\sigma_3=\frac{pr}{s}-0=\frac{pr}{s}$ . (Víme, že obě napětí budou tahová, tedy kladná, proto $\sigma_{max}=\sigma_2>\sigma_1>\sigma_3=\sigma_{min}=0$ ).
Teď stačí porovnat toto redukované napětí s mezí pevnosti. $p<\frac{s\sigma_p}{r}=\frac{0,5\cdot30}{3,75}=4\mathrm{MPa}$ . Podle jiné hypotézy pevnosti by výsledek vyšel o něco jinak. Taky je třeba si uvědomit, že při tomhle tlaku už trubička praskne, takže s ohledem na to a taky na veliká zjednodušení při výpočtu to chce nešetřit na součiniteli bezpečnosti. Reálná trubka je vždycky namáhána i ohybem atd., prostě chci říct, že tohle je takový první odhad před opravdovým výpočtem. :) Samozřejmě tam může někde být chyba...

Tscar · 10. 08. 2011 22:41

↑ FliegenderZirkus:
Zadání je opsáno úplně. Nebojím se říct, že zjednodušení lze vzít maximální možné. K dispozici nejsou tabulky a nepředpokládá se znalost velikosti žádného koeficientu. Abych přiblížil situaci, jsou to příklady pro absolvování Fyziky 1 mechaniky na VŠ technického směru. Hodinová dotace byla 1 přednáška a 1 cvičení týdně po jeden semestr. Asi tak pro představu.
Díky za ten výpočet, vypadá to velmi zajímavě. Opravdu jen hodně rychle jsem si prohlédl skripta předmětu Pružnost a pevnost a myslím, že tohle mě bude čekat tam. Ale pochopil jsem, takže se to nebudu bát zneužít.
Pokud by to někdo ale ještě trochu zjednodušil, byl bych rád.

FliegenderZirkus · 10. 08. 2011 23:09

↑ Tscar:
Já myslel, že to zadání je právě z pružnosti a pevnosti. Možná se teda chce jen obrázek - pohled ve směru osy a příslušná rovnováha sil, tj. úplně to redukovat na jednoosou napjatost. Zajímavé je, že v případě té hypotézy $\tau_{max}$ vyjde dovolený tlak stejně (u jiných hypotéz už ne).

Přepočítal jsem
2) 1,58 cm,
4) stejně, jen tam je překlep v jednotkách :)
6) stejně

Nad tou jedničkou se zkusím zamyslet, třeba dřív poradí někdo z kolegů.

Tscar · 10. 08. 2011 23:25

↑ FliegenderZirkus:

4) překlep v jednotkách? nějak to nevidim .. kolik ti to teda vyšlo?
jak myslíš tu trubku? asi to budu potřebovat trošku víc polopaticky ...
nastínim, jak jsem uvažoval u 2): spočítal jsem omega, z toho dostředivé zrychlení (omega na druhou * r), následně sílu .. a pak jsem vycházel z Hookova zákona, při tom, že E*S je pro oba případy stejné... při výpočtu té síly jsem použil poloměr již prodloužený tou silou o delta l, tam si nejsem uplně jistej ...

Tscar · 10. 08. 2011 23:26

↑ FliegenderZirkus:

a ještě k té jedničce .. nehledej tam složitosti, spíš naopak .... mělo by to být náročností srovnatelné s ostatními ...

jelena · 11. 08. 2011 09:12

Zdravím vás,

myslím, že tuto sbírku jsme postupně řešili 2 roky zpět s kolegou Peťou jeho téma) - konkrétně úlohu 1 jsem navrhovala v tématu (úloha 3). Kolega číselné výsledky měl a asi by se ozval, kdyby nevycházelo.

↑ Tscar:

jinak kontrola číselných výsledku je celkem otročina, lepší je umístit svůj postup, to se lépe kontroluje. Více úloh v tématu je proti pravidlům (co bych dělala, kdybych hned zrana nezacitovala :-)

Snad by stalo za to téma trochu protřídit - co ještě potřebuješ překonzultovat, umístí prosím do samostatného tématu + cituji kolegu ↑ FliegenderZirkus:, co už k tomu poradil.

Kolegovi ↑ FliegenderZirkus: patří velký obdiv a a poděkování.

FliegenderZirkus

↑ jelena:
Tento příspěvek není myšlen jako provokace, jen už jsem měl nakreslený obrázek, tak ho pošlu. S více úlohami v tématu máš pravdu, zde už bych v řešení dál nepokračoval.

↑ Tscar:
Těmi jednotkami jsem myslel, že změna objemu by neměla být v $\mathrm{mm}^2$ ale $\mathrm{mm}^3$ .

Obrázek k 5)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$s=r_2-r_1$
$pr\mathrm{d}\varphi=2\sigma s \sin$ \frac{\mathrm{d\varphi}}{2} $$
$\sin$ \frac{\mathrm{d}\varphi}{2}$ \approx \frac{\mathrm{d}\varphi}{2}$
$\sigma=\frac{pr}{s}$

EDIT: Podle tohoto výpočtu tedy v trubičce vznikne stajný typ napjatosti jako při rotaci trubky kolem své osy při uvažování setrvačných účinků (tj. když uvažujeme hustotu - hmotnost). V obou těchto případech se jedná o prostý tah, ve směru osy žádné napjetí není.

Tscar · 11. 08. 2011 11:59

↑ jelena:
Díky, podívám se na to staré téma a případně k 1) a ke 2) založím nové téma
Příště asi dodám i postup. Bude to lepší.
Za více úloh v tématu se omlouvám, měl jsem si přečíst pravidla.

↑ FliegenderZirkus:
Tak ty jednotky jsem parádně přehlíd.
Ta skleněná trubka vypadá skvěle.
Jak psala jelena, samozřejmě ti patří velkej dík.

Matematické Fórum

#1 10. 08. 2011 13:49

Elastické deformace těles - příklady

#2 10. 08. 2011 22:18

Re: Elastické deformace těles - příklady

#3 10. 08. 2011 22:41

Re: Elastické deformace těles - příklady

#4 10. 08. 2011 23:09

Re: Elastické deformace těles - příklady

#5 10. 08. 2011 23:25

Re: Elastické deformace těles - příklady

#6 10. 08. 2011 23:26

Re: Elastické deformace těles - příklady

#7 11. 08. 2011 09:12

Re: Elastické deformace těles - příklady

#8 11. 08. 2011 09:54 — Editoval FliegenderZirkus (11. 08. 2011 09:58)

Re: Elastické deformace těles - příklady

#9 11. 08. 2011 11:59

Re: Elastické deformace těles - příklady

Zápatí