Matematické Fórum

BakyX · 22. 08. 2011 16:46 — Editoval BakyX (22. 08. 2011 16:47)

Zdravím...Chcel by som sa aspoň niečo z tých hnusných nerovností naučiť. Mohli by ste mi prosím pomôcť s dôkazom tohto odhadu:

$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(2k+1)}<\frac{3}{8}-\frac{1}{2n}$

Ďakujem za pomoc..

Olin · 22. 08. 2011 21:58

Indukce?

BakyX · 22. 08. 2011 22:43

↑ Olin:

No mňa zaujíma skôr postup BEZ nej

Olin · 22. 08. 2011 23:17

Tak třeba odhadnout shora sumu integrálem?

BakyX · 23. 08. 2011 13:13

No ja som myslel, že sa to dá bez matematickej analýzy.

Marian · 24. 08. 2011 10:24 — Editoval Marian (24. 08. 2011 10:26)

↑ BakyX:

Našel jsem tento elementární důkaz:

Pro všechna přirozená čísla $k$ platí jistě nerovnost

$\frac{1}{k(2k+1)}=\frac{1}{2k^2+k}<\frac{1}{2k^2+k-\frac{3}{8}}.$

Po rozkladu jmenovatele zcela vpravo dostáváme nerovnost

$\frac{1}{k(2k+1)}<\frac{8}{(4k-1)(4k+3)}=2\cdot\left (\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right ).$

Proto použitím teleskopické metody sčítání dostáváme

$\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(2k+1)}<2\cdot\sum_{k=2}^{n}\left (\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right )=2\cdot\left (\frac{1}{7}-\frac{1}{4n+3}\right ).$

Otázkou tedy zůstává, platí-li nerovnost

$2\cdot\left (\frac{1}{7}-\frac{1}{4n+3}\right )<\frac{3}{8}-\frac{1}{2n},\qquad\forall n\in\mathbb{N},n\ge 2.$

Odpověď je ale pozitivní, neboť ta se dá upravit ekvivalentně na tvary

$20n^2+15n-84>0\qquad\Leftrightarrow\qquad 20\cdot\left (n+\frac{3}{8}\right )^2-\frac{1389}{16}>0, \qquad\forall n\in\mathbb{N},n\ge 2,$

odkud již nerovnost elementárními úvahami plyne velmi snadno.