Matematické Fórum

slava2 · 26. 08. 2011 11:39

Ahoj,
pomohl by jste mi někdo vyřešit tento příklad. Prosím ne o výsledek, ale o celý postup.
Předem děkuji

found · 26. 08. 2011 11:51

Chceš-li postup...
$\frac{2x}{|x+3|} \geq 1 \nl \frac{2x}{|x+3|} - 1 \geq 0 \nl \frac{2x - |x+3|}{|x+3|} \geq 0$

Pro $x > -3$ :
$\frac{2x - (x+3)}{x+3} \geq 0 \nl \frac{x-3}{x+3} \geq 0 \nl$

(x-3) - | - | +
(x+3) - | + | +
======== -3 ========= 3 ==========
celek: + - +

tedy $x \in \left(-\infty, -3\right) \cup \left<3, \infty\right)$
Důvod, proč do řešení patří x = 3 je ten, že v bodě 3 nabývá výraz nulové hodnoty, stejně tak je nulovým bodem i bod x = -3, jenže ten nemůžeme dosadit, zdůvodnit to můžeme dvěma způsoby. Buďto tak, že řešíme rovnici pro $x>-3$ , nebo tak, že $x+3$ ve jmenovateli nesmí být nulové.

A teď si stejně tak udělej i zbytek příkladu, tj. pro $x < -3$

slava2 · 26. 08. 2011 12:16

↑ found:
Ahoj,
díky, takže ten zbytek je x je od <-3;-1), a výsledek celého příkladu je od mínus nekonečna do mínus jedné, která je otevřená sjednoceno s třema, která je uzavřená do plus nekonečna?

Díky

found · 26. 08. 2011 12:20 — Editoval found (26. 08. 2011 12:26)

↑ slava2:

Zkus nejdřív postup, jak jsi to dělal. :-) Pak ti povím, jestli je to dobře nebo špatně. V tomhle se moc nevyznám. Navíc mám pocit, že's tam někde spletl znaménka - ale možná se pletu - proto je ten postup lepší (a já ti ho už psát nechci, abys ten příklad taky z části spočetl sám). A taky chci vidět, jestli jsi pochopil, jak ten příklad řešit z té mojí první části postupu.

slava2 · 26. 08. 2011 12:38

↑ found:
Tak tady je ten postup.

Pak jsem udělal sjednocení těch dvou intervalů a výsledek mi vyšel.

Díky

found · 26. 08. 2011 12:56 — Editoval found (26. 08. 2011 12:57)

↑ slava2:

Dobře, teď si všimni toho, že jsi dělal řešení pro x, které je menší než mínus tři, proto máš podmínku $x < -3$ , souhlasíš? Jak ti tedy může vyjít řešení do mínus jedné?

Rumburak

↑ slava2:

Máš to bohužel špatně - zkus dosadit třeba x = -4 . Špatně to má ovšem i kolega ↑ found:. (A špatně jsem to měl i já
při prvním pokusu "narychlo".) Poslední, co máš dobře, je nerovnice

(1) $\frac {2x - |x+3|}{|x+3|} \ge 0$ .

Aby měla smysl, musí být jmenovatel $|x+3|$ v levé straně nenulový, tedy

(2) $x \ne -3$ ,

což je základní předpoklad. Výhodnější než Tvůj postup je nerovnici (1) výrazem $|x+3|$ , vynásobit, a vzhledem k tomu,
že $|x+3| > 0$ , relační znaménko nerovnice se touto operací neotočí, takže dostaneme

(3) $2x - |x+3| \ge 0$ ,

která je při (2) ekvivalentní s (1) . No a teď je zapotřebí odstranit absolutní hodnotu, čímž se úloha rozdělí do dvou větví:

I. Při podmínce $x + 3 > 0$ ...

II. Při podmínce $x + 3 < 0$ ...

(případ $x + 3 = 0$ je předem vyloučen podmínkou (2)).

Dál zkus pokračovat sám ...