Matematické Fórum

hauzyna · 20. 09. 2011 12:14

ahoj mám tady tuto nerovnici: sin x < cos 2x

vyšly mi tyto dva kořeny

je tedy výsledkem
$http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-09/13649_gif.latex.gif$ ???

Hanis · 20. 09. 2011 12:23

S tím nesouhlasím. Naznač, jak jsi řešil...
btw: doporučuji grafické řešení, řekne ti to o hooodně víc než numerické...

hauzyna

↑ Hanis:

bohužel to musím řešit numericky

cos2x rozložím na cos^2 x - sin^2 x

pak prictu k obou stranam rovnice sin^2 x tim mi na prave strane vznika 1-sin^2x a na leve sinx +sin^2 x

pak to pocitam jak kvadratickou nerovnici

Cheop · 20. 09. 2011 12:42

↑ hauzyna:
A vyjde ti:
1)
$\sin\,x~<~-1$ - toto nenastane nikdy
2)
$\sin\,x~<~\frac 12$ a toto vyřešíš.

Hanis · 20. 09. 2011 12:45

numericky vyřešíš místa, kde sinx=cos2x
nicméně abys měl(a) přehled, v kterých intervalech nerovnost platí, je takřka nutné udělat si náčrtek
ad výpočet
$sin x= cos 2x$
$sin x= cos^2 x -sin^2 x ~~~~/+2sin^2x$
$sin x+2sin^2x=cos^2x+sin^2x$
$sin x+2sin^2x=1$
$2sin^2x+sin x-1=0$

$sinx_{1,2}=\frac{-1 \pm 3}{4}$

$sinx_1=\frac12$
$x_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee x_1=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$

$sinx_2=-1$
$x_2=\frac{3\pi}{2}$

To jsou body, pro které platí sinx=cos(2x)
Ale intervaly, mezi kterými platí nerovnost sin(x)<cos(2x) musíš ještě určit... a nejjednoduší je náčrt grafu, popř. tabulka...

hauzyna

↑ Cheop:

$http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-09/15680_gif.latex.gif$ ?? + perioda

((:-)) · 20. 09. 2011 12:56 — Editoval ((:-)) (20. 09. 2011 13:04)

↑ hauzyna:

Ak som neurobila chybu vo výpočte priesečníkov:

červená čiara (sinx) je pod tyrkysovou čiarou (cos2x) tam, kde sú ružové plochy...

všade tam je sinx < cos(2x), intervaly sa dajú vyčítať z osi x

hauzyna · 20. 09. 2011 13:20

↑ ((:-)):

dobře to je graficky ale jak mám k tomuhle dojít početně

Honzc · 20. 09. 2011 13:22 — Editoval Honzc (20. 09. 2011 13:25)

↑ Cheop:
S bodem, ve kterém
$\sin\,x~=~-1$ je potřeba vzhledem k požadavku u původní nerovnice zacházet opatrně.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

hauzyna · 20. 09. 2011 13:25

↑ Honzc:

předtim si nahoře psal že tahle nerovnost nemůže nastat nikdy

Honzc · 20. 09. 2011 13:27

↑ hauzyna:
Já jsem nahoře nic nepsal. To psal ↑ Cheop: a je to pravda.

hauzyna · 20. 09. 2011 13:28

↑ Honzc:

a promiň no když je to pravda tak proč je potřeba s tím zacházet opatrně

Honzc · 20. 09. 2011 13:36 — Editoval Honzc (20. 09. 2011 13:37)

↑ hauzyna:
Protože pro $x=\frac{3\pi}{2}$
platí $\sin(x)=\cos(2x)=-1$ a požadavek je aby $\sin(x)<\cos(2x)$ a tedy
$x=\frac{3\pi}{2}$ není řešením nerovnice. (jak by se mohlo zdát)
V grafu je to pěkně vidět.

hauzyna · 20. 09. 2011 13:40

↑ Honzc:

počkej jenže když řešim, kdy je sinx<1/2 tak mi tohle nevyjde

Honzc · 20. 09. 2011 13:46

↑ hauzyna:
No právě proto. Ty totiž musíš ten "nulový bod" tj kde je $\sin\,x~=~-1$ vyzkoušet. v původní nerovnici.

hauzyna · 20. 09. 2011 13:52

↑ Honzc:

aha dobře, když ho vyzkouším zjistím....

Honzc · 20. 09. 2011 13:55 — Editoval Honzc (20. 09. 2011 13:56)

↑ hauzyna:
Zjistíš, že
$\sin(\frac{3\pi}{2})=\cos(2\frac{3\pi}{2})=-1$ , ale po6adavek je
$\sin(x)<\cos(2x)$

hauzyna · 20. 09. 2011 13:57

↑ Honzc:

jop

Cheop · 20. 09. 2011 14:23 — Editoval Cheop (20. 09. 2011 14:37)

↑ hauzyna:
Z obrázku to vidíš? - ve kterých intervalech je y-ová souřadnice červené funkce < y-ová souřadnice modré funkce?

hauzyna · 20. 09. 2011 14:24

↑ Cheop:

v obrázku to vidim

Honzc · 20. 09. 2011 14:29

↑ Cheop:

↑ Cheop: napsal "Z obrázku to vidíš?"
A já říkám
Asi dokonce už potřetí.(viz. ↑ ((:-)): ↑ Honzc: a ↑ Cheop:)

jelena · 20. 09. 2011 15:55

Zdravím vás,

dovolím si poskytnout svůj postup:

jak píše ↑ hauzyna: řešením kvadratické rovnice se dostane na rozklad:

$2\sin^2x+\sin x-1<0$
$2(\sin x+1)(\sin x -\frac12)<0$ nerovnice v součinovém tvaru, potom platí:

(1) $\sin x+1<0$ a zároveň $\sin x -\frac12>0$ nebo (2) $\sin x+1>0$ a zároveň $\sin x -\frac12<0$

(1) nenastává, jelikož neplatí $\sin x<-1$ to už také zaznělo v příspěvcích. Řešíme pouze (2):

$\sin x+1>0$ a zároveň $\sin x -\frac12<0$

1. nerovnice je splněna pro všechna x s výjimkou $x=\frac{3\pi}{2}$ , druhou nerovnici $\sin x -\frac12<0$ vyřeším pomocí jednotkové kružnice (omluva za kvalitu). Na intervalu od 0 do 2 pi je řešení ve tvaru:

$$0,\,\frac{\pi}{6}$\cup$\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$\cup$\frac{3\pi}{2},\, 2\pi$$

hauzyna · 20. 09. 2011 15:58

↑ jelena:

super, jelena, ta seš skvělá. moc děkuju

jelena · 20. 09. 2011 16:11

↑ hauzyna:

děkuji, není za co - jen jsem standardizovala. Doporučení od kolegů (a kvalita provedení) jsou přínosnější. Ještě vzor zápisu sjednocení přes n (děkuji autorovi).

Doufám, že jsem si vydělala na jeden OT příspěvek, bohužel už na jeho napsání mi nezbyl čas, mějte se :-)

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2011 12:14

goniometrická nerovnice

#2 20. 09. 2011 12:23

Re: goniometrická nerovnice

#3 20. 09. 2011 12:31 — Editoval hauzyna (20. 09. 2011 12:32)

Re: goniometrická nerovnice

#4 20. 09. 2011 12:42

Re: goniometrická nerovnice

#5 20. 09. 2011 12:45

Re: goniometrická nerovnice

#6 20. 09. 2011 12:48 — Editoval hauzyna (20. 09. 2011 12:51)

Re: goniometrická nerovnice

#7 20. 09. 2011 12:56 — Editoval ((:-)) (20. 09. 2011 13:04)

Re: goniometrická nerovnice

#8 20. 09. 2011 13:20

Re: goniometrická nerovnice

#9 20. 09. 2011 13:22 — Editoval Honzc (20. 09. 2011 13:25)

Re: goniometrická nerovnice

#10 20. 09. 2011 13:25

Re: goniometrická nerovnice

#11 20. 09. 2011 13:27

Re: goniometrická nerovnice

#12 20. 09. 2011 13:28

Re: goniometrická nerovnice

#13 20. 09. 2011 13:36 — Editoval Honzc (20. 09. 2011 13:37)

Re: goniometrická nerovnice

#14 20. 09. 2011 13:40

Re: goniometrická nerovnice

#15 20. 09. 2011 13:46

Re: goniometrická nerovnice

#16 20. 09. 2011 13:52

Re: goniometrická nerovnice

#17 20. 09. 2011 13:55 — Editoval Honzc (20. 09. 2011 13:56)

Re: goniometrická nerovnice

#18 20. 09. 2011 13:57

Re: goniometrická nerovnice

#19 20. 09. 2011 14:23 — Editoval Cheop (20. 09. 2011 14:37)

Re: goniometrická nerovnice

#20 20. 09. 2011 14:24

Re: goniometrická nerovnice

#21 20. 09. 2011 14:29

Re: goniometrická nerovnice

#22 20. 09. 2011 15:55

Re: goniometrická nerovnice

#23 20. 09. 2011 15:58

Re: goniometrická nerovnice

#24 20. 09. 2011 16:11

Re: goniometrická nerovnice

Zápatí