Matematické Fórum

jozef123 · 27. 09. 2011 19:29

mam zadanie $\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{2x}=0$ a mám túto limitu dokázat priamo z definicie limity. zacal som takto:
$\lfloor x-a\rfloor<\delta$ a $\lfloor f(x)-L\rfloor<\epsilon$ a po dosadeni mam : $x+\infty<\delta$ a $\frac{1}{2x}<\epsilon$ co dalej?

druhy priklad co mam je tiez podobny len tam limita je nekonecna, ako sa to pocita? namiesto L do definicie mam dat nekonecno?

dakujem

OiBobik

↑ jozef123:

Ahoj,
to, cos napsal, mi příliš nedává žádný smysl (ač to můžeš myslet dobře, napsáno je to přinejmenším nečitelně).
to, že funkce $f(x)=\frac{1}{2x}$ má v $-\infty$ limitu rovnou 0 znamená platnost následujícího výroku:

$\forall \epsilon>0 \exists D \in R \forall x \in R: (x<D) \Rightarrow ( |f(x)-0|< \epsilon )$

Důkaz takového tvrzení probíhá tak, že si zvolím libovolné $\epsilon$ a najdu k němu takové D, že výrok je platný.

jozef123

↑ OiBobik:

chapem co ste napisali lenze ten dokaz je nad moje sily :(

iba teraz preberame tieto dokazi a velmi mi to nejde.

to lubovolne okolie epsilonu si mozem zvolit hocijake konkretne cislo a tak pocitat dalej?

OiBobik

↑ jozef123:

Tak já ti ukážu tento a ty si můžeš zkusit ten druhý (pozor na to, že pro nevlastní limitu je formulace oné podmínky z definice trochu jiná):

Nechť $\epsilon$ je libovolné kladné reálné číslo.
Položme $D:=-\frac{1}{2\epsilon}$
Jelikož jsme D položili jako záporné číslo, lib. x<D je taktéž záporné, tedy i $f(x)=\frac{1}{2x}$ bude záporné. Z toho vidíme, že $\forall x<D:|f(x)-0|=|f(x)|=-f(x)$
Stačí tedy ukázat $\forall x<D:-f(x)<\epsilon$ neboli $\forall x<D:f(x)>-\epsilon$ . Jelikož ale $f(D)=-\epsilon$ , stačí zkrátka ukázat $\forall x<D: \frac{1}{2x}>\frac{1}{2D}$ . Tato nerovnost je snadno odvoditelná z nerovnosti x<D:
$x&<D /\cdot \frac{1}{2xD} \\ \frac{1}{2D}&< \frac{1}{2x}$ (pozn: $\frac{1}{2xD}$ je kladné číslo)
A tedy jsme hotovi.

↑ Rumburak: Děkuji za doplnění.

Rumburak

↑ jozef123:

Důležité je pochopit, jak kolega ↑ OiBobik: vyčaroval to $D:=-\frac{1}{2\varepsilon}$ , což činívá problémy. Tedy takto:

Podle definice vlastní limity v $-\infty$ hledáme (konečné) číslo $D$ (obecně závislé na předem daném $\varepsilon > 0$ ) tak, aby platilo

$\forall x \in R: (x<D) \Rightarrow ( |f(x)-0|< \varepsilon )$ , což po dosazení $f(x) := \frac{1}{2x}$ a drobné algebraické úpravě přejde v

(0) $\forall x \in R: (x<D) \Rightarrow \left(\frac{1}{2|x|}< \varepsilon \right)$ .

Řešme tu finální nerovnost

(1) $\frac{1}{2|x|} < \varepsilon$ .

s neznámou $x$ a parametrem $\varepsilon$ . Snadno obdržíme

(2) $\frac{1}{2\varepsilon} < |x|$ .

Vzhledem k tomu, že limitu vyšetřujeme pro $x\to -\infty$ , stačí omezit se na $x <0$ , takže do (2) dosadíme $|x| = -x$ a postupně máme

$\frac{1}{2\varepsilon} < -x$ ,

(3) $x < -\frac{1}{2\varepsilon}$ .

Za $D$ vezmeme pravou stranu v (3), tedy $D:=-\frac{1}{2\varepsilon}$ , a při tomto označení ukážeme - třeba tak, jak píše ↑ OiBobik: - že z nerovnice
$x < D$ (tj. (3)) vyplývá (1) neboli $|f(x)-0|< \varepsilon$ . Tím bude rovnost $\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{2x}=0$ dokázána.

CVIČENÍ. Zkus dokázat, že výrok (0) bude splněn i pro $D:=-\frac{1}{2\varepsilon} - 50$ , ale NEBUDE splněn pro $D:=-\frac{1}{2\varepsilon} + \frac {1}{1000}$ .