Matematické Fórum

Marbulinek

Zdravím, potreboval by som pomôcť s jednoduchou úlohou, a to nájsť hromadné body pre predpis: (n+1)/(2n+3) , kde n patrí do Q}
a rovnakú úlohu, kde n patrí do N
Ďakujem :)

kaja.marik · 06. 10. 2011 21:39

Asi bych vysel z grafu funkce (x+1)/(2x+3) a predstavil si, ze z neho vezmu jenom neco (body s racionalnim nebo prirozenym vzorem).

vanok · 06. 10. 2011 22:02

↑ Marbulinek:
Ahoj,

Ako je definivany hromadny bod?
Mozes nam tu napisat jeho definiciu?
Ake priklady si videl v tvojich prednaskach? Vies ich znazornit na realnej osi?

Srdecne

Vanok

zbyna · 06. 10. 2011 22:44 — Editoval zbyna (07. 10. 2011 00:28)

↑ vanok:

Ahoj,

hromadny bod posloupnosti je takovy bod, pro jehoz jakekoliv okoli O plati, ze existuje nekonecne mnoho indexu n takovych, ze $a_n \in O$ .

Jinymi slovy je treba dokazat, ze v kteremkoliv okoli hromadneho bodu lezi nekonecne mnoho hodnot daneho predpisu po dosazeni za n.

Prakticky se postupuje tak, ze se sikovne vybere podposloupnost $a_{n_k}$ takova, ze $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{n_k} = a$ . Potom $a$ je hromadny bod posloupnosti $a_n$ .

Presny postup jsem nakonec radeji skryl:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zbyna.

vanok · 07. 10. 2011 00:11

↑ zbyna:
ahoj,
Tvoja praca je dobre riesenie problemu.
Osobne som narocky nedal riesenie, lebo si myslim ze pre nasho kolegu Marbulineka je uzitocnejsie najst jeho vlastnu cestu.
Srdecne Vanok

kaja.marik · 07. 10. 2011 07:04

↑ vanok:
Souhlasim s hledanim vlastni cesty, zvlast kdyz ta nabizena je ponekud kostrbata (viz nize).

↑ zbyna:
A proc se tam vlastne uvazuji zvlast liche a zvlast sude indexy?

ad Q: Ja bych vysel z toho, ze pro racionalni n je vyledek (n+1)/(2n+3) racionalni a naopak, kdyz je vysledek racionalni tak je i n racionalni. Potom je to vicemene jasne z grafu funkce (x+1)/(2x+3), monotonie v okoli nekonecna a existence vodorovne asymptoty.
VIcemene jasne znamena hlavne to, ze to jde videt z obrazku. Ale snadno to jde zformalizovat do tvaru poradneho dukazu.

zbyna · 07. 10. 2011 10:36

↑ kaja.marik:

no vlastne jen proto, ze veta je o vybrane podposloupnosti. Nejcasteji byva snadne vybrat podposloupnost lichych nebo sudych cisel. Asi jde "vybrat" stejnou posloupnost, ale to mi prijde takovy divny...

Marbulinek · 07. 10. 2011 11:01

Ďakujem Vám, už tomu rozumiem...
Ešte raz, vďaka ;)

Rumburak

↑ zbyna:
Domnívám se, že v této úloze jde o hledání hromadných bodů MNOŽIN a nikoliv posloupností (i když tu jde o spočetné množiny).

Bod y je hromadným bodem množiny M , pakliže v libovolném okolí bodu y leží aspoň jeden bod množiny M různý od y .

(Bod y nemusí patřit do M , musí však patřit do - obecně topologického - prostoru T, v němž je M podprostorem a z něhož bereme
ona "testovací" okolí bod M . Je-li definice naplněna, říkáme přesněji, že y je hromadným bodem množiny M v prostoru P.)

Ekvivalentně:

Bod y je hromadným bodem množiny M , pakliže v libovolném okolí bodu y leží nekonečně mnoho bodů množiny M.

zbyna · 07. 10. 2011 11:40

V tom pripade ale ten muj postup pro racionalni n plati tak jako tak, protoze okoli jedne poloviny je ten interval.

A pro prirozena n myslim jde uvazovat, ze to jde prevest na ulohu o hledani hromadneho bodu posloupnosti, protoze tak najdeme ten bod podezrely z toho, ze bude hromadny. Jen je potom treba dokazat, ze ta jedna polovina je opravdu hromadny bod, coz je ale totozne jako s racionalnim pripadem.

Rumburak

Já jsem úlohu pochopil trochu jinak. Označme

$D := \mathbb{R} - \{-\frac{3}{2}\}$ , $f(x) := \frac {x+1}{2x + 3} ; x \in D$ ,

$A :=\{ [x,y] \in \mathbb{R}^2 : y = f(x) ; x \in D\}$ ,

$B :=\{ [x,y] \in \mathbb{R}^2 : y = f(x) ; x \in D \cap \mathbb{Q} \}$ ,

$C :=\{ [x,y] \in \mathbb{R}^2 : y = f(x) ; x \in \mathbb{N}\}$ .

Prozkoumejme napřed množinu $D$ . Zřejmě $\overline{D} = \mathbb{R}$ (pruhem je značena operace uzávěru v $\mathbb{R}$ ) .
Tedy hromadným bodem množiny $D$ v $\mathbb{R}$ je každé reálné číslo (protože $\mathbb{R}$ nemá isolované body).

Podobně $\overline{D \cap \mathbb{Q}} = \mathbb{R}$ , takže hromadným bodem množiny $D \cap \mathbb{Q}$ v $\mathbb{R}$ je každé reálné číslo.

Naproti tomu $\mathbb{N}\subset D$ má pouze isolované body, jejichž nejmenší vzájemná vzdálemost je 1, takže
množina $\mathbb{N}$ nemá v $\mathbb{R}$ žádný hromadný bod.

Z těchto poznatků a ze spojitosti a průběhu funkce $f$ v $D$ snadno vyplývá (a jistě nebude těžké to dokázat i formálně):

- množinou všech hromadných bodů množiny $A$ v $\mathbb{R}^2$ je sama množina $A$ ,
- množinou všech hromadných bodů množiny $B$ v $\mathbb{R}^2$ je množina $A$ ,
- množina všech hromadných bodů množiny $C$ v $\mathbb{R}^2$ je prázdná,

označíme-li navíc $g(x,y) := y$ , potom dále

- množinou všech hromadných bodů množiny $g(A)$ v $\mathbb{R}$ je množina $\mathbb{R}$ ,
- množinou všech hromadných bodů množiny $g(B)$ v $\mathbb{R}$ je množina $\mathbb{R}$ ,
- množina $g(C)$ má v $\mathbb{R}$ jediný hromadný bod, a sice $\frac {1}{2}$ .

Tazatel ↑ Marbulinek: nespecifikuje úplně přesně které množiny a v kterém prostoru se mají zkoumat, tak jsem
toho udělal asi více než bylo nutné.

vanok · 09. 10. 2011 01:08 — Editoval vanok (09. 10. 2011 01:10)

Ahoj,
odpovedam len teraz lebo som sa nedostal k pocitacu pred tym

Najprv podla PRAVIDIEL som zacal diaolog z Marbulinekov bez toho aby som mu dal nejake riesenie.
Moj objektiv je ho priviezt vdaka dialogu k jeho VLASTNEMU RIESENIU... tak aj v kapacite vyriesit ine priklady tohto typu

Vsak sa hovori " hladnemu dat rybu je o mnoho menej ucinne ako ho naucit lovit ryby!!!!! "

Pripominam ze "hromadny bod" je topologicky pojem a
mikro topologia sa zavadza do uciva preto ze podla nej pojmy limity su velmi intuitivne a maju aj jednoduchu formulaciu ( a su to dvere na generalizaciu vlasnosti R)

Akoze pojem hromadneho bodu sa pouziva v definicii limit v studovanom priklade ide o hromadne body tychto dvoch mnozin( su to podmnoziny z R):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$A_Q:=\{ x_q = f(q) ; q \in D \cap \mathbb{Q} \}$
$A_N :=\{ x_n = f(n) ; n \in \mathbb{N}\}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kde $D := \mathbb{R} - \{-\frac{3}{2}\}$ je obor definicie funcie $f(x) := \frac {x+1}{2x + 3} (ako to poznamenal co sa tyka D a f naskolega Rumburak.)

Pokracovanie po vasych reakciach

Srdecne Vanok

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2011 17:46 — Editoval Marbulinek (06. 10. 2011 17:48)

Hromadné body

#2 06. 10. 2011 21:39

Re: Hromadné body

#3 06. 10. 2011 22:02

Re: Hromadné body

#4 06. 10. 2011 22:44 — Editoval zbyna (07. 10. 2011 00:28)

Re: Hromadné body

#5 07. 10. 2011 00:11

Re: Hromadné body

#6 07. 10. 2011 07:04

Re: Hromadné body

#7 07. 10. 2011 10:36

Re: Hromadné body

#8 07. 10. 2011 11:01

Re: Hromadné body

#9 07. 10. 2011 11:09 — Editoval Rumburak (07. 10. 2011 14:32)

Re: Hromadné body

#10 07. 10. 2011 11:40

Re: Hromadné body

#11 07. 10. 2011 14:04 — Editoval Rumburak (07. 10. 2011 15:47)

Re: Hromadné body

#12 09. 10. 2011 01:08 — Editoval vanok (09. 10. 2011 01:10)

Re: Hromadné body

Zápatí