Matematické Fórum

CLieR · 17. 10. 2011 14:55 — Editoval CLieR (17. 10. 2011 14:56)

Zdravím,
příklad z Petákové, strn. 16/28c

$6x^4 + 17x^3 + 17x^2 + 17x + 6 = 0$

Vydělím vše x^2, vytknu a vyjde:
$6(x^2 + 1/x^2) + 17(x + 1/x) + 17 = 0$
zavedu substituci y=x + 1/x, vychází kvadratická:

$6y^2 + 17y + 17 = 0$
Kořeny mi vyjdou:
$y1=\frac{-17+i\sqrt(119)}{12} y2 = \frac{-17-i\sqrt(119)}{12}$

Co dál dělat? Výsledkem má být $-2$ a $-\frac12$

pepa999

Po zavedení této substituce nevyjde kvadratická rovnice. (x+1/x)^2 = x^2+2+1/x^2

CLieR · 17. 10. 2011 15:11

↑ pepa999:
Ach, samozřejmě máte pravdu, ale jak tedy pokračovat? Omlouvám se, dnes mi to absolutně nemyslí.

pepa999 · 17. 10. 2011 15:18

Já takové úlohy řeším tak, že nejdříve uhádnu jeden kořen a potom snížím stupeň mnohočlenu o jedna a potom se uvidí. Teď takové řešení asi akceptovat nebudeš, když už znáš správné výsledky, ale mám pocit, že u všech takových zadání, pokud je to pro střední školy, je vždycky jedno z řešení -3, -2, -1, 1, 2 nebo 3...

jelena · 17. 10. 2011 15:36

Zdravím vás, řekla bych, že tuto "neshodu" se dá vyřešit tak, že se použije navrhovaná substituce:

$$x+\frac{1}{x}$^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}=y^2$ a v 1. členu se objeví toto:

$(6y^2-6\cdot2)+ 17y + 17 = 0$

může být? Děkuji.

CLieR · 17. 10. 2011 15:38 — Editoval CLieR (17. 10. 2011 15:49)

My bereme (jsme zkoušeni) pouze z reciprokých rovnic V. a VI. stupně, kde dle Hornerova schématu dojdeme k recip. IV. stupně, jenže zde jsem se nějak zasekl. I když jsem si zvolil, že x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2, tak sice vyjde kvadratická s pěknými kořeny (-1/3 a -15/6), ale při zpětné substituci to opět vychází špatně

EDIT: příklad za tímto, označen jako d) mi vyšel bez problému se stejným postupem, nejspíše jsem někde musel udělat numerickou chybu

jelena · 17. 10. 2011 15:49

↑ CLieR:

z této rovnice mi takové kořeny, jak máš, nevychází $6y^2+ 17y + 5 = 0$ . Děkuji.

CLieR · 17. 10. 2011 15:58

Někdo mi tu dělá naschvály, snad ne mozek :).

y1 = $-17+\sqrt{17^2 - 4*5*6}$ $= -4$ , podělit dvanácti a vyjde -1/3
y2 = $-17-\sqrt{17^2 - 4*5*6}$ $= -30$ , podělit dvanácti a vyjde -15/6

Prosím opravte mne.

jelena · 17. 10. 2011 16:30

↑ CLieR:

jednou jsem skoro vyřešila kvadratickou rovnici, tak se opět pokusím

$$x+\frac{1}{x}$=-\frac{15}{6}$

$$x+\frac{1}{x}$=-\frac{5}{2}$

$2x^2+5x+2=0$ už se podaří?

CLieR · 17. 10. 2011 16:38

Ano :D.

Děkuji.

jelena · 17. 10. 2011 16:45

↑ CLieR:

není za co, ať se vede.

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2011 14:55 — Editoval CLieR (17. 10. 2011 14:56)

Reciproké rovnice

#2 17. 10. 2011 15:02 — Editoval pepa999 (17. 10. 2011 15:10)

Re: Reciproké rovnice

#3 17. 10. 2011 15:11

Re: Reciproké rovnice

#4 17. 10. 2011 15:18

Re: Reciproké rovnice

#5 17. 10. 2011 15:36

Re: Reciproké rovnice

#6 17. 10. 2011 15:38 — Editoval CLieR (17. 10. 2011 15:49)

Re: Reciproké rovnice

#7 17. 10. 2011 15:49

Re: Reciproké rovnice

#8 17. 10. 2011 15:58

Re: Reciproké rovnice

#9 17. 10. 2011 16:30

Re: Reciproké rovnice

#10 17. 10. 2011 16:38

Re: Reciproké rovnice

#11 17. 10. 2011 16:45

Re: Reciproké rovnice

Zápatí