Matematické Fórum

kkknihomol · 19. 10. 2011 16:11

cau dneska jsme probírali derivace všechno v pohodě až na jeden krok, když je nějáká funkce mooncněmna další funckcí. Napři příklad X na X ?? nebo sinx na cosx , dělá se to nějak pres e a logaritmus ln. Mohl byste mi prosím nekdo napsat ten vzorec a trochu vysvetlít. Díky

Hanis · 19. 10. 2011 16:43

Abychom se zbavili exponenciální fce, celou fci zlogaritmujeme při základu e:
$y=x^x~~~~~/ln$
$lny=x\cdot lnx$
A nyní derivujeme:
$\frac{1}{y}\dcot y'=1lnx+x\frac{1}{x}$ (Nezapomenout u y zapsat i derivaci vnitřní fce - y')
$\frac{1}{y}\dcot y'=lnx+1$
Vyjádříme y':
$y'=y(lnx+1)$
A nahradíme y funkčním předpisem z původní fce:
$y'=x^x(ln x+1)$

Je to srozumitelné? Děkuji.

Stýv · 19. 10. 2011 16:59

↑ Hanis: tohle je spíš takovej trik

standardní postup je, že se vyjde z toho, jak je definována obecná mocnina, totiž $x^y\overset{\mathrm{def}}{=}\exp(y\ln x)$ . touhle úpravou dostaneš obyčejnou složenou fci, kterou derivuješ podel známých pravidel

kkknihomol · 19. 10. 2011 17:37

jj chápu díky a třeba když je x na x a to celý na x tak jsem to zkusil a to proste nejde se do toho zamotám. mohl bys mi ukázat postup na tohle pls díky

Hanis · 19. 10. 2011 17:51

$y=x^{x^x}$
$lny=x^x\cdot ln x$
$ln(lny)=x\cdot lnx+ln(lnx)$
$\frac{1}{lny}\cdot \frac{1}{y}\cdot y'=1\cdot lnx+1+\frac{1}{lnx}\frac{1}{x}$
$y'=y\cdot lny(lnx+1+\frac{1}{x\cdot lnx})$
$y'=x^{x^x}\cdot lnx^{x^x}(lnx+1+\frac{1}{x\cdot lnx})$

Ale příliš jistý si nejsem, snad nějaký kolega zkontroluje...

stenly · 19. 10. 2011 17:55

↑ kkknihomol:TAKY TAKHLE:A^B=e^B*lnA,čili x^x=e^x*ln(x)=x^x*(1*lnx+x*1/x)=x^x*(lnx+1)

kkknihomol · 19. 10. 2011 17:55

↑ Hanis:
výsledek ma být (x na x a to celý na x)*(x na x)*(lnx2+lnx+1/x) a ja dosel k výseldku (x na x a to celý na x)*(x na x)*(lnx2+ln+1+lnx+1/x)

u těch lnx 2 zo znamená logaritmus na druhou

kkknihomol · 19. 10. 2011 17:59

a jeste dotaz když počítám derivaci 4x na -2x tak to počítám jak???

Hanis · 19. 10. 2011 18:24

↑ kkknihomol:
Tak oni ve výsledcích jenom upravili ten logaritmus a roznásobili závorku.

ad $4x^{-2x}$ je to stále analogické, napiš, kam ses dostal

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2011 16:11

derivace

#2 19. 10. 2011 16:43

Re: derivace

#3 19. 10. 2011 16:59

Re: derivace

#4 19. 10. 2011 17:37

Re: derivace

#5 19. 10. 2011 17:51

Re: derivace

#6 19. 10. 2011 17:55

Re: derivace

#7 19. 10. 2011 17:55

Re: derivace

#8 19. 10. 2011 17:59

Re: derivace

#9 19. 10. 2011 18:24

Re: derivace

Zápatí