Matematické Fórum

deathMaster · 28. 10. 2011 13:09

Zdravím.
1)Mám určit jestli vektory (1,2,3), (-2,0,4), (1,1,1) jsou lineárně závislé nebo ne.
Chápu teorii LZ/LN, když je násobek jednoho vektoru roven vektoru druhému, jedná se o LZ vektory.
U tohoto konkrétního příkladu v druhém vektoru vidím nulu a ta mi říká, že ať vynásobím první nebo třetí vektor čímkoliv, nedostanu z toho vektor druhý. Problém je ale v tom, že pokud dostanu složitější příklad, kde řešení nebude na první pohled zřejmé, nebudu schopen to dopočítat.
2)Prosím tedy o radu, jak byste postupovali vy? Ideální by bylo například znázornění výpočtu pomocí matic.
3)Dá se na výsledek přijít pomocí přepsání příkladu do matice a spočtení jejího determinantu? (dle definice determinantu, pokud jsou v matici LZ řádky, det. matice je roven nule, zde si ale nejsem jistý, zda-li to platí pokaždé

Budu velice vděčný za pomoc. Nerad bych kvůli takovémuto příkladu například vylítnul u zkoušky.

kompik · 28. 10. 2011 13:18

deathMaster napsal(a):
Zdravím.
1)Mám určit jestli vektory (1,2,3), (-2,0,4), (1,1,1) jsou lineárně závislé nebo ne.
Chápu teorii LZ/LN, když je násobek jednoho vektoru roven vektoru druhému, jedná se o LZ vektory.
U tohoto konkrétního příkladu v druhém vektoru vidím nulu a ta mi říká, že ať vynásobím první nebo třetí vektor čímkoliv, nedostanu z toho vektor druhý. Problém je ale v tom, že pokud dostanu složitější příklad, kde řešení nebude na první pohled zřejmé, nebudu schopen to dopočítat.

deathMaster napsal(a):
2)Prosím tedy o radu, jak byste postupovali vy? Ideální by bylo například znázornění výpočtu pomocí matic.

Jedna z moznosti ako to riesit maticami je robit riadkove upravy. Ak dostaneme po uprave na redukovany trojuholnikovy tvar nulovy riadok, tak su zavisle, inak su nezavisle:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dufam, ze som sa tam nepomylil. Vyslo mi, ze su nezavisle.

deathMaster napsal(a):
3)Dá se na výsledek přijít pomocí přepsání příkladu do matice a spočtení jejího determinantu? (dle definice determinantu, pokud jsou v matici LZ řádky, det. matice je roven nule, zde si ale nejsem jistý, zda-li to platí pokaždé

Determinanty sa daju robit len pre stvorcove matice. Cize toto sa da pouzit vtedy, ak je pocet vektorov rovnaky ako dimenzia. (V tomto pripade mas 3 vektory v R^3, cize to je jedna moznost ako to riesit. (Ale determinanty sa tiez daju pocitat pomocou riadkovych uprav, pri vacsich rozmeroch je to podla mna asi najrychlejsi postup, takze medzi tymi 2 postupmi nie je az taky velky rozdie.)

kompik · 28. 10. 2011 13:27

deathMaster napsal(a):
1)Mám určit jestli vektory (1,2,3), (-2,0,4), (1,1,1) jsou lineárně závislé nebo ne.
Chápu teorii LZ/LN, když je násobek jednoho vektoru roven vektoru druhému, jedná se o LZ vektory.
U tohoto konkrétního příkladu v druhém vektoru vidím nulu a ta mi říká, že ať vynásobím první nebo třetí vektor čímkoliv, nedostanu z toho vektor druhý. Problém je ale v tom, že pokud dostanu složitější příklad, kde řešení nebude na první pohled zřejmé, nebudu schopen to dopočítat.

Este sa vratim, k tomu, co si pisal. To co som vyznacil boldom je nespravne zdovodnenie. (Predtym som si to nevsimol, neprecital som si tvoj post poriadne.)
Ak by bol tvoj argument srpavny, tak by tieto vetktory boli tiez nezavisle:
(1,2,3),(1,0,3),(1,1,3)
Ale vieme dostat:
(1,2,3)+(1,0,3)-2*(1,1,3)=(0,0,0),
takze tieto vektory su zavisle.

((:-)) · 28. 10. 2011 13:41 — Editoval ((:-)) (28. 10. 2011 16:00)

↑ deathMaster:

Iná možnosť (z definície lineárnej nezávislosti vektorov):

Vektory sú lineárne nezávislé vtedy, ak v prípade, že urobíš ich lineárnu kombináciu, tá sa rovná nulovému vektoru iba pre nulové koeficienty:

$a(1;2;3)+b(-2;0;4)+c(1;1;1) = (0;0;0)$ ,

$a-2b+c=0$

$2a+0b+c=0$

$3a+4b+c=0$

Teda ak táto sústava má jediné riešenie, a to a=0, b=0, c=0

deathMaster · 28. 10. 2011 13:50

kompik napsal(a):
deathMaster napsal(a):
1)Mám určit jestli vektory (1,2,3), (-2,0,4), (1,1,1) jsou lineárně závislé nebo ne.
Chápu teorii LZ/LN, když je násobek jednoho vektoru roven vektoru druhému, jedná se o LZ vektory.
U tohoto konkrétního příkladu v druhém vektoru vidím nulu a ta mi říká, že ať vynásobím první nebo třetí vektor čímkoliv, nedostanu z toho vektor druhý. Problém je ale v tom, že pokud dostanu složitější příklad, kde řešení nebude na první pohled zřejmé, nebudu schopen to dopočítat.
Este sa vratim, k tomu, co si pisal. To co som vyznacil boldom je nespravne zdovodnenie. (Predtym som si to nevsimol, neprecital som si tvoj post poriadne.)
Ak by bol tvoj argument srpavny, tak by tieto vetktory boli tiez nezavisle:
(1,2,3),(1,0,3),(1,1,3)
Ale vieme dostat:
(1,2,3)+(1,0,3)-2*(1,1,3)=(0,0,0),
takze tieto vektory su zavisle.

áha, tohle mi ušlo, dík za upozornění :)

Každopádně taky dík za objasnění, moc mi to pomohlo

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2011 13:09

lineární závislost vektorů-dokážu určit pohledem, ale neumím spočítat

#2 28. 10. 2011 13:18

Re: lineární závislost vektorů-dokážu určit pohledem, ale neumím spočítat

deathMaster napsal(a):

deathMaster napsal(a):

deathMaster napsal(a):

#3 28. 10. 2011 13:27

Re: lineární závislost vektorů-dokážu určit pohledem, ale neumím spočítat

deathMaster napsal(a):

#4 28. 10. 2011 13:41 — Editoval ((:-)) (28. 10. 2011 16:00)

Re: lineární závislost vektorů-dokážu určit pohledem, ale neumím spočítat

#5 28. 10. 2011 13:50

Re: lineární závislost vektorů-dokážu určit pohledem, ale neumím spočítat

kompik napsal(a):

deathMaster napsal(a):

Zápatí