Matematické Fórum

ShadyDrob_cz

Zdravim,
mohl by mi prosím někdo poradit jak vypočítat tyto limity funkcí:
1) lim(x -> +nekonečnu) z (ln(1+e^x)) / x ,,a to same jen když n jde k -nekonečnu

Upravila Jelena: zbytek úloh prosím do samostatného tématu - viz pravidla. Děkuji.

zbytek úloh Zobrazit/skrýt!

Poznámka: někdo mi poradil ať použiji L'Hospitalovo pravidlo, bohužel to nejspíš nemužu použít zvhledem k tomu, že ve škole jsme ještě něbrali derivace a pravidlo samotné
Díky

jelena · 27. 10. 2011 11:11 — Editoval jelena (27. 10. 2011 12:22)

Zdravím,

navrhuji dle pravidel v tématu začit rozebírat pouze jednu úlohu (přepsala jsem a upravila 1. zadání) - pokud bez LH, potom se pokusíme aplikovat užitečné vzorce z Rychlokurzu (děkuji autorovi s kolektivem)

1a) pro +nekonečno jsem ještě nic nevymyslela - upraveno - trochu vymyslela $\lim_{x\to \infty}\frac{\log(e^x+1)}{x}=\lim_{x\to \infty}\log$e^x\(1+\frac{1}{e^x}$\)^{\frac{1}{x}}$

1b) pro -nekonečno se mi zdá použitelné: $\lim_{x\to -\infty}\frac{\log(e^x+1)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\log(e^x+1)\cdot e^x}{x\cdot e^x}$

Úlohu administrativní síly jsem splnila (a Lukáš (zh) poobědvá :-), hodně zdaru v rozboru přeji.

ShadyDrob_cz

Díky za upravu a tipy :)
Teď se chvili budu hloupě ptát (celkem v tomdle plavu).

1.a) zatim sem nevymylsle jak to upravit
1.b) když si to rozšířim pomocí "chytré" jedničky, tak můžu brát že mi zruší ten logaritmus a pak už jen pomocí vytknutí z čitatele si upravim ten výraz že chci vypočítat limitu z což je 0?, nebo postupuji špatně

jelena · 27. 10. 2011 15:57

představovala jsem úpravy:

1a) $\log$e^x\(1+\frac{1}{e^x}$\)^{\frac{1}{x}}=\log$(e^x)^{\frac{1}{x}}$+\log$1+\frac{1}{e^x}$^{\frac{1}{x}}=\log$e$+\log$\(1+\frac{1}{e^x}$^{e^x}\)^{\frac{1}{e^x \cdot x}}$

pro 1b] úpravu na součin zlomků $\frac{\log(e^x+1)}{e^x}\cdot \frac{e^x}{x}$

Ale já nemám takový cit pro limity, jako kolegové, děkuji za spravedlivou kritiku :-)

ShadyDrob_cz

aha, díky:
u toho 1a) mužu již brát, že je a je tedy celá ta limita je 1?

jelena · 28. 10. 2011 16:51

↑ ShadyDrob_cz:

není za co, také mi to tak vyšlo.

Podařilo se rozepsat limitu druhé části: $\log$\(1+\frac{1}{e^x}$^{e^x}\)^{\frac{1}{e^x \cdot x}}$ "slušně" - podrobně? Děkuji.

ShadyDrob_cz

:),, nějak moc sem nepochopil ten dotaz :D, ale jestli myslíš jak si mi to rozepsala ty, tak to je hodně dobré, já to už pak nějak vidim z toho :D, že mi v tom log de vše k nule

jelena · 28. 10. 2011 17:02

↑ ShadyDrob_cz:

myslím, zda jsi se zaměřil na limitu úplně vnitřní funkce, kde je jeden z užitečných vzorců, potom na limitu vnitřní funkce pro log(...) atd.

ShadyDrob_cz · 28. 10. 2011 17:08

no já beru že, (1+1/e^x)^(e^x) je e, podle e,, pak že e/(x*e^x) je 0, a log z 0 je nedefinovany, tak to beru jako 0 .... a nebo sem prisel omylem na vysledek :D

jelena · 28. 10. 2011 17:10

↑ ShadyDrob_cz:

"je e" - dobře, potom ale e^0=1, log(1)=0. V pořádku? Děkuji.

ShadyDrob_cz · 28. 10. 2011 17:14

Aha, takže jak sem myslel, vycucal jsem výsledek z mejch představ., takhle to vidím vše v pořádku :), mnohokrát děkuji za trpělivost se mnou

halogan

Hezký podvečer přeji,

úloha byla vyřešena, přidám trochu vlastních myšlenek, pokud by je měl někdo náladu číst. Budu řešit jen alternativu x -> infty.

Zcela selsky už na začátku vidíme výsledek, protože $\text{exp}\,x + 1$ se nám příliš lišit od e^x nebude, pokud budeme x více a více hnát k nekonečnu. Čitatel tedy bude vesměs log(e^x), tedy x. A x je ve jmenovateli, takže to celé půjde do jedničky.

Matematicky jednoduše

Pro x větší než [...] platí

$\frac{\log $\mathrm{exp}\, x$}{x} \leq \frac{\log $\text{exp}\,x + 1$}{x} \leq \frac{\log $\text{exp}\,x + \text{exp}\,x$}{x}$

Limita toho levého je jednička, limita toho pravého je následující:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log $\text{exp}\,x + \text{exp}\,x$}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log $2 \, \text{exp}\,x$}{x} = \lim_{x \to \infty} $\frac{\log 2}{x} + \frac{\log \(\text{exp}\, x$}{x} \) = 1$

Paráda, dva policajti, hotovo.

Matematicky vlastně taky jednoduše

Vytkneme e^x v logaritmu, roztrhneme na dva logaritmy a dostáváme

$\lim_{x \to \infty} $1 + \frac{\log \(1 + \frac{1}{\text{exp}\, x}$}{x}\)$

A my víme, že ten logaritmus se chová zhruba jako (1/e^x), takže přes pár aritmetik dostaneme 1 + lim (1/(e^x x)), což je zase jednička.

---

Snad jsem se někde neupsal.

Hezký zbytek večera přeji.

jelena · 28. 10. 2011 19:57

↑ Ondřej:

:-) děkuji, máš naprostou pravdu - 2. pozoruhodnou limitu jsem za každou cenu vnucovat nemusela, stejného výsledku bychom dosáhli i jen s $\log$1+\frac{1}{e^x}$^{\frac{1}{x}}$ pro 2. část.

Ale zas oceň - 2x v jednom tématu byl citát na dílo s kolektivem. Už byste mohli doplnit nějak výrazně - kdo si má pamatovat, že do okna hledat napíší "Rychlokurz". Děkuji a zdravím :-)

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2011 22:28 — Editoval ShadyDrob_cz (27. 10. 2011 13:11)

Limity

#2 27. 10. 2011 11:11 — Editoval jelena (27. 10. 2011 12:22)

Re: Limity

#3 27. 10. 2011 14:27 — Editoval ShadyDrob_cz (27. 10. 2011 14:28)

Re: Limity

#4 27. 10. 2011 15:57

Re: Limity

#5 28. 10. 2011 16:42 — Editoval ShadyDrob_cz (28. 10. 2011 16:44)

Re: Limity

#6 28. 10. 2011 16:51

Re: Limity

#7 28. 10. 2011 16:57 — Editoval ShadyDrob_cz (28. 10. 2011 16:58)

Re: Limity

#8 28. 10. 2011 17:02

Re: Limity

#9 28. 10. 2011 17:08

Re: Limity

#10 28. 10. 2011 17:10

Re: Limity

#11 28. 10. 2011 17:14

Re: Limity

#12 28. 10. 2011 18:46 — Editoval halogan (28. 10. 2011 18:58)

Re: Limity

#13 28. 10. 2011 19:57

Re: Limity

Zápatí