Matematické Fórum

↑ verbucha:

Ahoj,

víš, co to znamená, že nějaká množina generuje nějaký vektorový prostor?

verbucha napsal(a):

Určete, které z následujících vektorů generují vektorový prostor R3 u1(2,-1,3), u2(4,1,2), u3(8,-1,8)

Žádné, protože jsou lineárně závislé.

↑ verbucha:

To ne...

Takto lze definovat množinu generátorů (příp. přejít na lineární obal, pokud nevíš)

Co je podstatné, je, že elementárními transformacemi se lineární obal množiny vektorů nemění. Tedy pokud dostaneš skupinu vektorů a chceš ověřit, že generují nějaký VP, snažíš se tu skupinu vektorů el. transformacemi převést na něco, o čem jistě víš, že generuje onen VP - v Případě R^3 je to typicky kanonická báze.

Kdybych dostal stejnou úlohu se čtveřicí vektorů , pak je evidentní, že tato množina je lineárně závislá, ale generuje R^3 (dokonce každé 3 vektory z ní generují R^3). Tedy nemůže mě obecně zajímat právě lineární nezávislost.

Proč nám zde stačí LN vektorů z R^3 je z toho důvodu, že jsou tři. Tedy jso-li LN, dimenze VP jimi generovaného je (dle def.) 3, přičemž lze nahlédnout, že to znamená, že . Naopak jsou li LZ, pak a zřejmě uvažované vektory prostor R^3 negenerují.

↑ verbucha:

OiBobik napsal(a):

Co je podstatné, je, že elementárními transformacemi se lineární obal množiny vektorů nemění. Tedy pokud dostaneš skupinu vektorů a chceš ověřit, že generují nějaký VP, snažíš se tu skupinu vektorů el. transformacemi převést na něco, o čem jistě víš, že generuje onen VP - v Případě R^3 je to typicky kanonická báze.