Matematické Fórum

zelo · 29. 10. 2011 16:10

Mám pár príkladov, s ktorými som nejak pohol, ale neviem či správne, tal sa chcem poradiť.

$\Sigma \frac{n^2}{(2+\frac{1}{n})^n}$

Riesil by som to asi pomocou pravidla s odmocninou teda následne upravujem výraz
$\frac{(\sqrt[n]{n})^2 }{{(2+\frac{1}{n})}} = \frac{1^2}{2 + 0} = \frac{1}{2} < 1$

teda je konvergentny ?

Stýv · 29. 10. 2011 16:25

zdá se mi to v pořádku (jenom tam nezpomeň uvést, kde se jedná o limitu)

zelo · 29. 10. 2011 16:34 — Editoval zelo (29. 10. 2011 16:39)

2) $\Sigma \frac{ 2^n * n!}{n^n}$

keby tu použijem to iste pravidlo ostane mi
$\frac{2*\sqrt[n]{n!}}{n}$
a co s tym faktorialom ?

//

3) $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{3^n})$

to isté pravidlo prvy clen mi ostane 1/n^1/n - 1/3 = 1-1/3 = 2/3 ?

Stýv · 29. 10. 2011 16:41

↑ zelo: použij Stirlingovu formuli

zelo · 29. 10. 2011 16:50 — Editoval zelo (29. 10. 2011 16:57)

↑ Stýv:fúúha to sme ale nebrali na prednaske.. neviem lebo ratam si trochu dopredu tak to asi nebude na teste :D ako kukam wikipediu tak som z toho jelen

hentak ako som to ratal to je asi zle vsak ?

Stýv · 29. 10. 2011 17:02

↑ zelo: tak v tý dvojce zkus použít podílový kriterium, to by taky mohlo fungovat. trojka úplně blbě, za to bych tě od zkoušky rovnou vyrazil - odmocnina rozdílu přece není rozdíl odmocnin!

zelo · 29. 10. 2011 17:50 — Editoval zelo (29. 10. 2011 17:58)

↑ Stýv:no použil som v dvojke to podielove kriterium a dostal som sa po

$\frac{2*n^n}{(n+1)^n}$
a teraz neveim ako dalej ci pouzit odmocninove, alebo uz o tomto viem nieco povedat.

jaj sakra ta trojka mala byt cela zatvorka na 1/n :D zdalo sa mi to cudne ale ...

kompik · 29. 10. 2011 18:17

zelo napsal(a):
$\frac{2*\sqrt[n]{n!}}{n}$
a co s tym faktorialom ?

Co sa tyka vypoctu tejto limity, tak toto by mohla byt zaujimava linka: http://math.stackexchange.com/questions … f-n-sqrtnn

Ale asi lepsie bude robit to cez podielove kriterium, ako to navrhol Styv.

Stýv · 29. 10. 2011 18:39

↑ zelo: teď už neřešíš konvergenc iřady, ale limitu posloupnosti, takže na odmocninový kriterium zapomeň. naopak si vzpomeň na podobnou limitu s vedoucí na exponencielu (n v čitateli rozepiš jako n+1-1 a vyděl n+1)...

zelo · 30. 10. 2011 10:03 — Editoval zelo (30. 10. 2011 11:37)

a keby si dám

$\lim_{n\to\infty }(\frac{2*n^n}{(n+1)^n})=2*\lim_{n\to\infty }(\frac{n}{n+1})^n = 2*1^n = 2 ?$
to je zle ?

ešte som čosi poriešil aj o par prispevkov nižšie

jelena · 30. 10. 2011 11:05

↑ zelo:

Zdravím, v tom se asi sám nevyznáš, když budeš dávat celou sbírku do jednoho příspěvku (a těžko se dostane vhodných rad). Zde máme velmi pěkné souborné dílo kolegů i včetně algoritmu (od Olina), všem děkuji.

zelo napsal(a):
$\lim_{n\to\infty }$\frac{2\cdot n^n}{\(n+1$^n}\)=2\cdot \lim_{n\to\infty }$\frac{n}{n+1}$^n = 2\cdot1^n = 2 ?$

nepoužil jsi doporučení ↑ Stýv::

teď už neřešíš konvergenc iřady, ale limitu posloupnosti, takže na odmocninový kriterium zapomeň. naopak si vzpomeň na podobnou limitu s vedoucí na exponencielu (n v čitateli rozepiš jako n+1-1 a vyděl n+1)...

a to se nevyplatilo, tak to zde dodiskutuj s kolegy a až potom zbytek. Děkuji.

Také prosím o použití interpunkce ve větách - můžeš dle vzoru kolegy Stýva.

zelo · 30. 10. 2011 11:23 — Editoval zelo (30. 10. 2011 11:41)

Neviem to tak rozpísať ako mi poradil stýv keby to prepíšem na 2*(n+1)^n tak v čitateli musím ešte niečo odčítať ale neviem čo.

resp. dal som si $2*\lim_{n\to\infty }(\frac{n}{n+1})^n=2*\lim_{n\to\infty }(\frac{(n+1)-1}{n+1})^n=2*\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{n+1})^n$

keby v menovateli je len n tak to viem rozpisať na 1/e ale je tam n+1 tak este tam musim nejako vyrobit n ?

//hmm a teraz som z wolframu zistil ze limita [1-1/(n+1)]^n je 1/e tak teraz uz fakt neviem

jelena · 30. 10. 2011 11:46

↑ zelo:

jednu úlohu do tématu jsme si dali do pravidel - z důvodu přehlednosti. Samozřejmě můžeš sem umístit náhled na více úloh, aby bylo jasné, jaká obtížnost, nebo jaký materiál doporučit, ale v tématu je lepší řešit jen jednu úlohu. Snad to takový problém pro Tebe nebude. Děkuji.

Ano, tato úprava je již v pořádku. Já používám takovou úpravu, tedy bych provedla:

$\lim_{n\to\infty }$\(1-\frac{1}{n+1}$^{-(n+1)}\)^{-\frac{n}{n+1}}$ použití zdůvodněno zde :-)

zelo · 30. 10. 2011 11:54

↑ jelena:tak tomuto už chápem, ďakujem veľmi pekne, na toto by som len tak neprišiel

jelena · 30. 10. 2011 14:20

↑ zelo:

není za co, mně to také řekl(a) někdo jiná. Jinak - až budeš příště tak důrazně editovat, tak je lepší všechno, co bylo navíc, jen umístit do hide (1. škoda již naTeXovaných zápisů, 2. teď mé komentáře působí, jako bych trpěla poruchou osobnosti a neodolatelnou touhou někoho vychovávat).

Až budeš tvořit své další téma, tak si jen uvaž, aby pro odpovídajícího (a následně i pro Tebe) to bylo pohodlné a přehledné. Lze toto téma považovat za vyřešené?

Děkuji a zdar přeji.

zelo · 30. 10. 2011 14:41

ešte by som sa chcel spýtať na pár príkladov.
$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{3n!}{(n!)^2*4^{3n}})$

využil som

$\frac{A_{n+1}}{A_{n}}$

postupne som upravoval až som sa dostal do fazy

$\lim_{n\to\infty }\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)!^2*4^3}$

a v zbierke je bez akéhokoľvek komentára:
$(\frac{3}{4} )^3$

nemyslíte že tam je niekde error ?

jelena · 30. 10. 2011 15:23

↑ zelo:

Zakládej si, prosím, nové téma, tak Tebe nikdo nenajde. Mně by takové zadání smysl nedávalo. Pokud výsledek, jak uvádíš, tak, tak bych viděla $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3^{3n}}{4^{3n}}$

jak zakomponovat faktoriály, to teď nevím, ovšem $3n!=3n(n-1)(n-2)!$ . Potom bych nedávala do jmenovatele 2. mocninu faktoriálu. Tvůj rozpis na součin by odpovídal $(3n)!$ Úplně nejlepší bude, pokud se zeptáš přímo autora (pokud je to vaše interní sbírka) nebo učitele. Případně sem dej, prosím scan, co tam je.

A už prosím zakládej nové téma, ať se o Tebe stará i někdo jiný, děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2011 16:10

Konvergencia nekonečných radov

#2 29. 10. 2011 16:25

Re: Konvergencia nekonečných radov

#3 29. 10. 2011 16:34 — Editoval zelo (29. 10. 2011 16:39)

Re: Konvergencia nekonečných radov

#4 29. 10. 2011 16:41

Re: Konvergencia nekonečných radov

#5 29. 10. 2011 16:50 — Editoval zelo (29. 10. 2011 16:57)

Re: Konvergencia nekonečných radov

#6 29. 10. 2011 17:02

Re: Konvergencia nekonečných radov

#7 29. 10. 2011 17:50 — Editoval zelo (29. 10. 2011 17:58)

Re: Konvergencia nekonečných radov

#8 29. 10. 2011 18:17

Re: Konvergencia nekonečných radov

zelo napsal(a):

#9 29. 10. 2011 18:39

Re: Konvergencia nekonečných radov

#10 30. 10. 2011 10:03 — Editoval zelo (30. 10. 2011 11:37)

Re: Konvergencia nekonečných radov

#11 30. 10. 2011 11:05

Re: Konvergencia nekonečných radov

zelo napsal(a):

#12 30. 10. 2011 11:23 — Editoval zelo (30. 10. 2011 11:41)

Re: Konvergencia nekonečných radov

#13 30. 10. 2011 11:46

Re: Konvergencia nekonečných radov

#14 30. 10. 2011 11:54

Re: Konvergencia nekonečných radov

#15 30. 10. 2011 14:20

Re: Konvergencia nekonečných radov

#16 30. 10. 2011 14:41

Re: Konvergencia nekonečných radov

#17 30. 10. 2011 15:23

Re: Konvergencia nekonečných radov

Zápatí