Matematické Fórum

ondrej.svec · 01. 11. 2011 21:44

Ve fyzice jsme začali opakovat Speciální teorii relativity. Tam se při rychlostech blížících se světlu počítá Lorenztův faktor:

$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

V několika příkladech vyšly známé hodnoty pro goniometrické funkce ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{1}{2}$ ).

Zadání je typu: raketa letí rychlostí 0,5c... spočítejte XYZ. Mně nyní jde jenom o ten Lorentzův faktor.

Když spočítám arcus sinus z 0,5 a potom z tohoto výsledku spočítám cosinus (funguje to i opačně - arcus cosinus a potom sinus), tak to vyjde úplně stejně, jako kdybych to počítal podle vzorečku s odmocninou.

Jestli mě někdo pochopil, mohli byste mi vysvětlit (případně matematicky dokázat), proč to tak je?

LukasM · 01. 11. 2011 23:24 — Editoval LukasM (01. 11. 2011 23:25)

↑ ondrej.svec:
Jak sis toho všimnul? Nudil ses ve škole a dělal kraviny na kalkulačce, nebo to nějak vidíš?

Ty vlastně měříš rychlost v jednotkách c, takže ten Lorentzův faktor při tvém značení vypadá takhle: $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ (x značí rychlost měřenou v násobcích c). Výpočet co navrhuješ vypadá takhle: $g(x)=\cos{(\arcsin{x})}$ . Takže jde o to porovnat tyhle dvě funkce. Zkusil jsem je obě zderivovat a zjistil, že $f'(x)=g'(x)$ (pro všechny přípustné hodnoty x). Tudíž ty funkce se mohou lišit maximálně o konstantu. Ale protože $f(0)=g(0)$ , musí být obě funkce (na svém definičním oboru) totožné.

Tolik matematický důkaz, a ještě s použitím derivací, které jste možná ještě nebrali. Určitě to bude mít nějaký snadno vysvětlitelný fyzikální důvod, Lorentzův faktor je v zásadě odvozen geometricky, takže to náhoda určitě není. Bohužel ale mám dost mizernou představivost, a ten důvod nevidím. Ale pokud někdo další ano (pohybuje se tu pokud vím i teoretický fyzik), rád se poučím. Jinak se někdy podívám do Feynmana jak to odvození přesně vypadá, a něco mně třeba napadne. Z fleku to nevím.

ondrej.svec · 02. 11. 2011 12:07

LukasM napsal(a):
↑ ondrej.svec:
Jak sis toho všimnul? Nudil ses ve škole a dělal kraviny na kalkulačce, nebo to nějak vidíš?

V jednom příkladě jsme měli zadanou rychlost 0,5c a výsledek byl sqrt(3)/2, takže mě to tak nějak problesklo hlavou a jenom jsem to jednou vyzkoušel na kalkulačce.

LukasM napsal(a):
↑ ondrej.svec:
Zkusil jsem je obě zderivovat a zjistil, že $f'(x)=g'(x)$ (pro všechny přípustné hodnoty x). Tudíž ty funkce se mohou lišit maximálně o konstantu. Ale protože $f(0)=g(0)$ , musí být obě funkce (na svém definičním oboru) totožné.

Derivace nyní probíráme, asi na ně ještě nejsem dost zaběhnutý. Mohl by jsi mi ukázat, jak se derivuje funkce s arccos?

LukasM napsal(a):
↑ ondrej.svec:
Tolik matematický důkaz, a ještě s použitím derivací, které jste možná ještě nebrali. Určitě to bude mít nějaký snadno vysvětlitelný fyzikální důvod, Lorentzův faktor je v zásadě odvozen geometricky, takže to náhoda určitě není. Bohužel ale mám dost mizernou představivost, a ten důvod nevidím. Ale pokud někdo další ano (pohybuje se tu pokud vím i teoretický fyzik), rád se poučím. Jinak se někdy podívám do Feynmana jak to odvození přesně vypadá, a něco mně třeba napadne. Z fleku to nevím.

Na wikipedii jsem se díval na graf Lorentzova faktoru, něco mi připomíná, i když trochu vzdáleně, jenom teda nevím co.

zdenek1 · 02. 11. 2011 12:41

↑ ondrej.svec:
rovnost těch funkcí (pro přípustné hodnoty x) je vcelku triviální

platí $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$
takže $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}$

a protože $\sin x$ a $\arcsin x$ jsou navzájem inverzní funkce, je $\sin(\arcsin x)=x$
a tak $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-x^2}$

to nemá s fyzikou nic co dělat

LukasM · 02. 11. 2011 14:26

↑ ondrej.svec:
Zdeňkův důkaz rovnosti je lepší než můj, na střední škole bez problémů proveditelný. Mně napadlo první to co jsem napsal (je to trochu vidět, tak jsem to zkusil), a dál jsem to neřešil.

Pokud ale stejně toužíš po tom vidět jak se derivuje arcsin, tak je to jednoduché - já si tu derivaci totiž pamatuju, viz třeba anglická wikipedie. Pak se to derivuje normálně jako složená funkce, přičemž využiješ toho samého co Zdeněk, totiž že $\sin(\arcsin x)=x$ .

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2011 21:44

Lorentzův faktor trochu jinak

#2 01. 11. 2011 23:24 — Editoval LukasM (01. 11. 2011 23:25)

Re: Lorentzův faktor trochu jinak

#3 02. 11. 2011 12:07

Re: Lorentzův faktor trochu jinak

LukasM napsal(a):

LukasM napsal(a):

LukasM napsal(a):

#4 02. 11. 2011 12:41

Re: Lorentzův faktor trochu jinak

#5 02. 11. 2011 14:26

Re: Lorentzův faktor trochu jinak

Zápatí