Matematické Fórum

Azeret · 06. 11. 2011 00:15 — Editoval Azeret (06. 11. 2011 00:59)

Ahoj,
snažím se vyřešit tento příklad:
Spočtěte objem tělesa omezeného následujícími plochami: $z=0$ , $z=xy$ , $x+y+z = 1$ .
Tím je tedy dána množina $\Omega$ a objem je roven
V = $\int_{\Omega} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z$ .

Přepsala jsem si tento integrál podle Fubiniho věty
$\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-y} \left( \int_{0}^{\frac{y-y^2}{1+y}} 1 \mathrm{d}z \right) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y$ .

Meze pro podstavu jsem určila dosazením $z=0$ . Mez pro osu $z$ vyjádřením průsečníce $z=xy$ , $x+y+z = 1$ na
$y$ a $z$ . Do integračních mezí nezahrnuji hranice - aby nebyl problém s dělením nulout, to by mělo jít zanedbat jako
množina míry nula - na přednášce jsme v teorii takto daleko nedošli, tak doufám, že to tak je . . . (bohužel máme počítání
napřed před teorií)

Výsledný integrál mi vychází dvakrát větší, než je uvedeno ve výsledkách.
Nevidíte tam prosím někdo chybu?

jelena · 07. 11. 2011 10:17

Zdravím,

včera jsem se dívala na Tebou vytvořené meze a mám takový pocit že dosazením jsi vytvořila stopu 3D plochy v rovině yOz (a zároveň společné body plochy xy a roviny x+y+z=1), ale přišla jsi tak o horní omezující plochu pro z (tedy pro úplně vnitřní integrál po dz bych viděla horní mez xy).

Nevím, co vidí kolegové, děkuji.

Azeret · 07. 11. 2011 11:44

↑ jelena:
Díky za odpoveď,

a moc tomu, co píšeš nerozumím :(. Stopa 3D plochy v rovině yOz - vůbec nevím, co si podtím představit.
(celou situaci mám nakreslenou v gnuplotu )
Můžeš prosím nějak popsat, co jsem tedy přesně vyjádřila?
Snažila jsem se popsat průsečnici ploch xy a 1-x-y - alespon podle obrazku mi prijde, ze prave to urcuje meze na ose z.

Prijde mi, ze pokud bych jako mez brala pouze xy, nic mi nebrani v tom aby z=1 (protoze x i y nabyvaji hodnot (0,1) ),
ale ze tam to omezeni roviny 1-x-y bude chybet.

Mam pomerne dlouhe vedeni, tak pokud pisu nejakou uplnou blbost, tak se omlouvam.

jelena · 07. 11. 2011 12:53

Azeret napsal(a):
Mam pomerne dlouhe vedeni...

tak to jsme schopný tým - já zas trpím zkraty (pokud se mi myšlenka zasekne, už to neodsekne nikdo :-) Budeme doufat, že některý drsný se přestane utápět ve vzpomínkách, co se kde řešilo a dojde nás zachránit (jak již prokázal)

Podle mne z=f(y) se nachází v yOz (ale z vyjádření mi to neplyne). Tedy:

1) co jsi vyjádřila, když jsi dosadila do roviny x=z/y?

Používáš trojnásobný integrál - věta 8.7 a musíme najít dvě plochy (z=f(x, y)) omezující těleso - podstava je jasná - je to rovina xOy, horní omezující (dívám se zleva - až do průniku z=xy a x+y+z=1 omezuje plocha z=xy, potom je řez a omezuje rovina x+y+z=1.

2) jak zapsat, že těleso křivkou průsečíku je rozděleno na dvě části - pod plochou xy a pod rovinou.

3) pomůže nám, když nejdřív vypočteme objem pravoúhlého čtyřstěnu, od kterého odečteme objem "nad xy" nebo nám pomůže změnit pořadí integrování a počítat objem pod rovinou a nad xy.

Nebo zbývá doufat, že tohoto tématu si někdo z kolegů všimne. Děkuji velice :-)

Azeret · 07. 11. 2011 17:41

↑ jelena:

ad 1)
kdyby tam byla jen jedna rovina, pak by to bylo jasne, ale tady mam
z = xy
z = 1-x-y
a tak jsem si rekla, ze kdyz mam dve rovnice, pak si z nich proste urcim podminku pro z,
tedy x = z/y a dosadim do druhe, pak z = 1 -z/y-y (melo by byt podle me jedno, jestli vyjadrim
z jako fci y, nebo x - ale asi by to mela zkusit vypocitat, jestli tomu tak opravdu je).

a jestli z=f(y) implikuje to ze lezi v yOz, to nevim, mam ted trochu problem s tim, jak vyjadrit
krivku v prostoru - krivka by mela zaviset pouze na 2 parametrech. Nevím, ale jak jinak vyjádřit
rovnici průsečnice dvou rovin?

ad 2)
to bude asi kamen urazu celeho prikladu :)

ad 3)
asi by to slo nejak rozdelit a poodcitat, ale ja bych radeji nasla reseni, ktere pak budu moc aplikovat
i v pisemkach, kde gnuplot mit nebudu a vubec nebudu mit paru o tom jak to vypada :)

jelena · 07. 11. 2011 20:07

↑ Azeret:

děkuji. Chybějící gnuplot bych jako problém neviděla - použila bych takovou prachovku a metodu hadru (vzhledem k tomu, co studuješ, je to doporučení nevhodné, omlouvám se).

Uvažovala jsem, jak rozdělit těleso na 2 části - jelikož podstavu máme v rovině xOy, potom Tvůj průmět průsečíku ploch do roviny yOz nepoužijeme, ale dosadím z=xy do x+y+z=1, tedy x+y+xy=1 a vyjádřím y=(1-x)/(1+x).

Tedy podstava se mí rozdělila na meze pro y: od 0 do (1-x)/(1+x) a od (1-x)/(1+x) do (1-x). Meze pro x jsou od 0 do 1. Budu počítat 2 trojnásobné integrály.

1) x od 0 do 1, y od 0 do (1-x)/(1+x), z od 0 do xy
2) x od 0 do 1, y od (1-x)/(1+x) do (1-x), z od 0 do (1-x-y)

Do integrálu už poskládáš: "od konce" dz, dy, dx. Dává Tobě takový přístup smysl? Případnou kritiku a opravdu odborný výklad bych přenechala do rukou někoho jiného - jste jiná třída, mně takový výklad nepřísluší - působilo by to směšně.

Děkuji.

Azeret · 07. 11. 2011 20:47

↑ jelena:

Jo takto by to určitě šlo - díky moc. Zkusím to spočítat, ale myslím, že výsledek bude určitě správně.

Ale moc by mi pomohlo, kdyby mi někdo vysvětlil, kde vlastně dělám chybu v mém postupu nahoře . . . díky . . .

jelena · 07. 11. 2011 22:46

Azeret napsal(a):
Ale moc by mi pomohlo, kdyby mi někdo vysvětlil, kde vlastně dělám chybu v mém postupu nahoře . . . díky . . .

O to bych také moc poprosila :-)

-------------------------------------------------
Tvůj vypočtený průmět bychom asi mohli použit, pokud otočíme těleso o 90 stupňů (proti ručičkám), tedy úplně vnitřní integrál bude po dy (ze zadání plochy bychom tedy museli vyjádřit y=f(x, z)) a horní omezující bude rovina, dolní y=z/x. Snad tak. Ale nevysvětluje to podstatu metody (opakuji, na to slovník, ani drzost nemám, omlouvám se).

Měj se hezky.

Rumburak · 08. 11. 2011 11:37

↑ Azeret:

Ano, kolegyně ↑ jelena:, již tímo srdečně zdravím, to vyřešila správně.

Tvůj postup v ↑ Azeret: je chybný v horní mezi vnitřního integrálu podle $z$ .

Místo $\frac{y-y^2}{1+y}$ tam mělo být $\min \{xy, 1-x-y\}$ , tedy

$V = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-y} \left( \int_{0}^{\min \{xy, 1-x-z\}} 1 \mathrm{d}z \right) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = \\=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1-y} \min \{xy, 1-x-y\} \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = \\= \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\frac{1-y}{1+y}} xy \mathrm{d}x +\int_{\frac{1-y}{1+y}}^{1-y}(1-x-y) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y = ...$ .

jelena · 08. 11. 2011 12:08

↑ Rumburak:

moc děkuji za pomoc a za ochotu, také srdečný pozdrav.

Jelena

Azeret · 08. 11. 2011 20:55

↑ Rumburak:
No jasně, min z tech dvou ploch - to dává smysl :)

díky.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2011 00:15 — Editoval Azeret (06. 11. 2011 00:59)

Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#2 07. 11. 2011 10:17

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#3 07. 11. 2011 11:44

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#4 07. 11. 2011 12:53

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

Azeret napsal(a):

#5 07. 11. 2011 17:41

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#6 07. 11. 2011 20:07

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#7 07. 11. 2011 20:47

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#8 07. 11. 2011 22:46

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

Azeret napsal(a):

#9 08. 11. 2011 11:37

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#10 08. 11. 2011 12:08

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

#11 08. 11. 2011 20:55

Re: Objem tělesa (Lebesguegův integrál)

Zápatí