Matematické Fórum

ajucha · 08. 11. 2011 19:05

Potřebovala bych poradit s výpočtem integrálu: 1/sqrt(4+x^2)
upravila jsem si to na tento tvar:http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2*1%2F%28sqrt%281%2Bx%5E2%2F4%29%29
a dál nevím jak,zkoušela jsem různý substituce, ale vzdycky jsem došla k tomuto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% … 9*sqrty%29

a s tím nevím, co mám dělat...
nemáme to dělat přes sinh (ani to teda neumím)
Nemáte nějakou dobrou radu? :)

((:-)) · 08. 11. 2011 19:28 — Editoval ((:-)) (08. 11. 2011 19:38)

↑ ajucha:

ajucha · 08. 11. 2011 19:34

↑ ((:-)):
my takovýto vzorec uvedený nemáme :( potřebovala bych se k tomu nějak dostat,ale nevím jak...

Alivendes

↑ ajucha:
Jedná se o Eulerovu substituci

Je to vzorec který se musí naučit, nebo osobně nevím jak bych to odvozoval.

ajucha · 08. 11. 2011 19:52

↑ ((:-)):
nemohla bys mi to ještě ukázat,jak to upravit? nevím,jak tu substituci použit, kdyz tam je =t-x
a jak se vlastne prislo, ze ta substituce ma vypadat takto?

Alivendes

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}$

Použijeme 1. eulerovu substituci - kvadratický člen je větší než nula

$\sqrt{ax^2+bx+c}=t\pm \sqrt{a} x$ Znamínko volíme podle výhodnosti
$\sqrt{x^2+a}=t-x$
$x^2+a=t^2-2tx+x^2$
$a-t^2=-2tx$
$\frac{t^2-a}{2t}=x$ Vyjádřili jsme x - dosadíme do integrálu
$$$$ dx=\frac{a+t^2}{2t^2}dt $$$$ - nový diferenciál

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\int\frac{\frac{a+t^2}{2t^2}dt}{\sqrt{[\frac{t^2-a}{2t}]^2+a}}=\int\frac{\frac{a+t^2}{2t^2}dt}{\sqrt{\frac{t^4-2t^2a+a^2}{4t^2}+a}}=\int\frac{\frac{a+t^2}{2t^2}dt}{\sqrt{\frac{t^4-2t^2a+a^2+4t^2a}{4t^2}}}=\nl \int\frac{\frac{a+t^2}{2t^2}dt}{\sqrt{\frac{t^4+2t^2a+a^2}{4t^2}}}=\int\frac{\frac{a+t^2}{2t^2}}{\frac{t^2+a}{2t}}dt=\int\frac{2t}{t^2+a}\frac{a+t^2}{2t^2}dt$

Takhle jsme se zbavili odmocniny, už to p;jde jednoduše :)

Děkuji Kolegovi za upozornění

Jenda358 · 08. 11. 2011 20:30

↑ Alivendes:
Jen poznamenám, že je ještě třeba zaměnit $\mathrm{d}x$ za $\mathrm{d}t$ .

ajucha · 08. 11. 2011 20:31

↑ Alivendes:
když je čitatel derivací jmenovatele, tak se použije logaritmus.
šel by tento příklad také vypočítat jinak, než použitím euklidovy substituce? výklad euk. substituce jsem si nasla a chápu to podle ni, ale my jsem jí ve škole neměli...

Alivendes · 08. 11. 2011 20:43

↑ ajucha:

Přemýšlel jsem o tom ale nic mě nenapadá, wikipedie uvádí přímo výsledek jako tabulkový integrál.
Snad poradí některý z kolegů

Jenda358 · 08. 11. 2011 20:47

↑ Alivendes:
Myslím, že máš špatně přepočítaný diferenciál $dx=\frac{2t-2}{4t^2}dt$ .
Správně by to mělo být $dx=\frac{a+t^2}{2t^2}dt$ .
Pokud jde o jinou metodu, mělo by to ještě jít pomocí substituce goniometrickou funkcí (tangens), ale je to mnohem zdlouhavější.

Alivendes · 08. 11. 2011 20:54

↑ Jenda358:
Děkuju za kontrolu, trochu dýl jsem nederivoval :) Vážně to nejde nijak jednodušeji ?

Jenda358 · 08. 11. 2011 21:05

↑ Alivendes:
Není zač. Bohužel neznám jinou metodu než Eulerovu substituci (nebo to, co jsem psal v minulém příspěvku). Nicméně Eulerova substituce je podle mě docela nenáročná metoda, takže na jejím použití nevidím nic špatného.

kaja.marik

Jenda358 napsal(a):
Pokud jde o jinou metodu, mělo by to ještě jít pomocí substituce goniometrickou funkcí (tangens), ale je to mnohem zdlouhavější.

Ten tangens ovsem jenom pokud je $a$ kladne. Bez ujmy na obecnosti muzu rict ze $a=\pm 1$ (respektive z jakehokoliv $a$ dokazu substituci tu plus nebo minus jednicku udelat) a potom to je bud vzorec s arkus(ko)tangensem, nebo se da udelat ta substituce $x=\tan t$ (pokud je $a=1$ ) a budeme pocitat integral $\int\frac 1{\cos t}\,dt$

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2011 19:05

výpočet integrálu

#2 08. 11. 2011 19:28 — Editoval ((:-)) (08. 11. 2011 19:38)

Re: výpočet integrálu

#3 08. 11. 2011 19:34

Re: výpočet integrálu

#4 08. 11. 2011 19:50 — Editoval Alivendes (08. 11. 2011 19:51)

Re: výpočet integrálu

#5 08. 11. 2011 19:52

Re: výpočet integrálu

#6 08. 11. 2011 20:17 — Editoval Alivendes (08. 11. 2011 20:53)

Re: výpočet integrálu

#7 08. 11. 2011 20:30

Re: výpočet integrálu

#8 08. 11. 2011 20:31

Re: výpočet integrálu

#9 08. 11. 2011 20:43

Re: výpočet integrálu

#10 08. 11. 2011 20:47

Re: výpočet integrálu

#11 08. 11. 2011 20:54

Re: výpočet integrálu

#12 08. 11. 2011 21:05

Re: výpočet integrálu

#13 09. 11. 2011 12:47 — Editoval kaja.marik (09. 11. 2011 12:47)

Re: výpočet integrálu

Jenda358 napsal(a):

Zápatí