Matematické Fórum

Pokud bych na to sla "silou", rozlozila bych jmenovatele



a pote postupovala pres rozklad na parcialni zlomky. Ale popravde se mi resit tu neprijemnou soustavu sesti rovnic o sesti neznamych "rucne" moc nechce. Takze doufam, ze nekdo na to pujde spis hlavou, nez silou :-)

↑ BrozekP:
Jo, protoze v tom rozkladu na parczlomky vyjdou jen koeficienty "bez x", povedou vsechny integraly (jeden primo a zbyvajici po doplneni na ctverec) na arctan, jak je uvedeno. Ale priznavam se dobrovolne, ze ten rozklad mi vypocitala technika, v tou vedru jsem nejaka lina ;-)

Ten původní integrál lze vypočítat bez rozkladu na parciální zlomky a řešení soustavy rovnic. Výpočet integrálu se vleze na jeden max. dva řádky :-)

↑ BrozekP:

ten výraz ve jmenovateli mě přivádí na myšlenku pomoct si nějakou nekonečnou geometrickou řadou. Že by to bylo takhle?

$\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,\text{d}x=\int_0^\infty x^3(\frac 1{e^x}+\frac 1{e^{2x}}+\frac 1{e^{3x}}+\,\dots)\,\mathrm{d}x=\int_0^\infty x^3\sum_{j=1}^\infty e^{-jx}\,\mathrm{d}x=\int_0^\infty\sum_{j=1}^\infty x^3e^{-jx}\,\mathrm{d}x=\sum_{j=1}^\infty\int_0^\infty x^3e^{-jx}\,\mathrm{d}x=\sum_{j=1}^\infty\biggl([-\frac 1j\,x^3e^{-jx}]_0^{\infty}+\frac 3j\int_0^\infty x^2e^{-jx}\,\mathrm{d}x\biggr)=\nl= \sum_{j=1}^\infty\frac 3j\int_0^\infty x^2e^{-jx}\,\mathrm{d}x=\sum_{j=1}^\infty\biggl(\frac 3j\,[-\frac 1j\,x^2e^{-jx}]_0^{\infty}+\frac 6{j^2}\int_0^\infty xe^{-jx}\,\mathrm{d}x\biggr)=\sum_{j=1}^\infty\frac 6{j^2}\int_0^\infty xe^{-jx}\,\mathrm{d}x=\sum_{j=1}^\infty\biggl(\frac 6{j^2}\,[-\frac 1j\,xe^{-jx}]_0^{\infty}+\frac 6{j^3}\int_0^\infty e^{-jx}\,\mathrm{d}x\biggr)=\sum_{j=1}^\infty\frac 6{j^3}\int_0^\infty e^{-jx}\,\mathrm{d}x=\nl=\sum_{j=1}^\infty\frac 6{j^3}\,[-\frac 1j\,e^{-jx}]_0^{\infty}\,\mathrm{d}x=\sum_{j=1}^\infty\frac 6{j^4}=6\cdot\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{15}\,.$

Pozor na tu řadu, kterou uvádíš v nápovědě. Měla by tam být 4. mocnina.

Stačí v čitateli něco přičíst a odečíst a jmenovatel vhodně upravit. Inspiraci najdeš v příspěvku od ↑ Jorica: :-)

Zdravím vás :-)

Předně mám radost, že po "technické odmlce" píše Jorica, srdečný pozdrav:-)

Pavlovi udělim malou výchovnou poznámku - hodit jen tak zadání bez sdělení, co se očekává od ostatních.... to už, prosím, ne :-) - také jsi mohl dočkat pouze doporučení, a? použiješ wims nebo stránky pana Maříka.

Editace: víte, kdo to řekl?

Lze stanovit tyto zásady:
Když nikdo nežádá o radu, porada se nezačíná.
Když nikdo radu nevysloví, porada nepostupuje.
Když nikdo radu nevymezí, porada nedochází cíle.


- jinak integrál mám vyřešen polopatickou metodou (ale jen proto, že když jsem udělala rozklad - ručně :-) tak jsem byla příliš líná... a výsledek z wims říkal, že to půjde, tak jsem to dal neřešila přes zlomky, ale lopatou :-)

↑ BrozekP: - tady byl zajimavý postup od Mariana (k tvému zadání), na závěr v mém příspěvku je odkaz na "klasiku", kterou tady uvedl i kolega

Editace :-)

to bych si neodpustila, abych nepřidala pozdrav pro kaju.marika :-) V těch dnech zrovna připravuji jednoho budoucího studenta pro Vašeho strýčka (nebo pro některého z jeho kolegů) a pořad opakuji, aby dbal na úpravu výrazů :-) a dělení člen po členu.

Editace ještě jednou - pokus o opravu češtiny :-)

↑ BrozekP a ostatni interesovani:

Pokud mate zrovna maximalizovane okno s timto prispevkem, pak v pravem hornim rohu vaseho okna najdete tlacitko s jeho uzavrenim. Ne, nezavirejte. K tomuto znaku pridejte do exponentu vhodnou mocninu a zkuste radu od Pavla (pricist, odecist). Napovim jeste, ze vysledek se da zapsat podstatne jednoduseji, nez je jiz uvedeno.


Na tento integral se vaze jedna velice zajimava prihoda s couvanim nakladniho auta plne nalozeneho nejmenovanym pivem v jednom strmem svahu pod Lysou horou. Po vyreseni toho integralu velice jednoduchou metodou (viz ma napoveda) jsme s Pavlem nalezli analogii reseni uvedeneho integralu s dopravou piva pod Lysou horou. Ale o tom treba nekdy priste.

Tak už jsem se konečně dobral k výsledku bez parciálních zlomků :-) Vychází mi , jednodušší tvar už snad není možný :-)

↑ jelena:
Rovnez zdravim a jsem rada, ze i po te dobe jste si vzpomnela ;-)

Koukam, ze i z integrace "obyc" racionalne lomene fce se vyklubalo zajimave pocitani. Uznavam, ze stalo za to se podivat po te "lopate" :-)

↑ kaja.marik:

A budete tedy cvičit procenta?

To abych vědela, kterým směrem se mám ubírat (on, student, bude na provozně ekonomické fakultě :-)  Já bych standardně "výrazy, elementární funkce, rovnice, nerovnice" a třeba je všechno jinak :-)

↑ kaja.marik:
Kvuli me absenci jsem se Kajo ani nerozloucila s Tvym stryckem :-( Tak ho aspon pozdravuj. Jinak me zaujala pravdepodobna napln vyuky matematiky na PEFce..no procenta se kazdopadne muzou hodit, to je fakt ;-) A pokud se aspon pul semestru bude venovat jejich krasopisnemu psani, tim lip ? :-)))) No a k tomu, co vyzaduji nekteri ucitele (pocitani u tabule, atd.) tak to je vazne vrchol a k tomu neni co dodat :-)))

To je ono, výborně. Postup je opravdu elegantní :-) Jinak doplním, že na rozklad dvojčlenu lze přijít jednoduchou úvahou. Protože , je zřejmě, že a jsou komplexní kořeny uvedeného dvojčlenu. Tudíž je beze zbytku dělitelné dvojčlenem .