Matematické Fórum

Klainer

Dobrý den, nevím si ted rady s dvouma příklady na princip inkluze a exkluze:

1) Kolik existuje surjekcí n-prvkové množiny na (n-1) prvkovou množinu.

2) Jandě zbylo od narozenin 6 čokoládových bonbonů. Chce je rozdělit na 4 po sobě jdoucí dny tak, aby každý den snědla alespoň jeden.Kolik má možností ?

a) Pokud je 6 bonbónů různých ?
b) Pokud je 6 bonbonu stejných ?

Za a) Jsem vypočítal viz obr:

Bohužel mě nenapadá způsob jak vypočítat variantu b, když mám všechny bonbony stejné.

Děkuji mockrát za rady a Váš čas !

OiBobik

↑ Klainer:

Nazdar,

když máš všechny bonbony stejné, tak jediné, čím se jednotlivé způsoby rozdělení liší, je počtem bonbonů, snězených v ten který den. Tedy každý validní způsob požírání dovedu vystihnout popsat právě jednou uspořádanou čtveřicí $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ kladných celých čísel takových, že $a_1+a_2+a_3+a_4=6$ . To je celkem typová úložka ; ))

Pokud jsi ji zatím nikdy neviděl, zkus se zamyslet, jak lze zakódovat zase tyto čtveřice - představ si, že máš v řadě nějaké tři děliče mezi čtyřmi přihrádkami, mezi které máš rozmístit 6 nerozeznatelných kuliček tak, aby mezi každými dvěma děliči (a i na krajích řady) byla vždy alespoň jedna kulička.

Alesak · 12. 11. 2011 16:14

a) souhlas

b) protože každý den alespoň jeden bonbón, tak bych prostě 4 bonbóny odečet, a zjišťoval, kolika způsoby lze sníst 2 bonbóny ve 4 dnech.
Představ si den jako čárku, a bonbón jako kuličku. Potom každý možný uspořádání se dá zobrazit jako např. $|\circ|\circ|$ , kde první den by nesnědla nic, druhý 1, třetí 1, čtvrtý nic. Nebo $|||\circ\circ$ , kdy čtvrtý den snědla oba. Takže to je množina o 5 prvcích, a nás zajímá počet dvouprvkových podmnožin.

Klainer

Tak jsem na to šel takhle:
mám 4 přihrádky - dny mezi tyto přihrádky dávám 6 bonbonu. Ošetření toho aby byl vždy mnimálně 1 bonbon jsem udělal takhle:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} -4 = 6 -4$
$a_{1}-1+a_{2}-1+a_{3}-1+a_{4} -1 = 6 -4$
Substituce:
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4} = 2$

A pak počítám kombinace s opakováním:
$C^{*}(4,2) = (\frac{2+4-1}{4-1}) = \frac{5}{3}$

To lomítko tam nemá byt a vychází mi to 10.

Počítám to správně :) ? Pokud ano, neví někdo ještě jak na ten první příklad ?

1) Kolik existuje surjekcí n-prvkové množiny na (n-1) prvkovou množinu.