Matematické Fórum

komar · 13. 11. 2011 14:25

Dobrý den potřeboval bych pomoc určit Limita v krajních bodech def.oboru u f-ce y= x* $\mathrm{e}^{1/x}$ . Df=(- $\infty$ ,0) $\cup$ (0,+ $\infty$ ) Studuji dálkově takže ocením každou pomoc předem děkuji.

Andrejka3 · 13. 11. 2011 14:43

↑ komar:
Ahoj. Jsem tu nová, ale doufám, že můj příspěvek pomůže.
Krajní body definičního oboru jsou +-0 a +- nekonečno.
počítejme limitu v bodě 0 zprava/zleva. Nejdříve doporučuji provést substituci y = 1/x, která převede případ na limitu pro y k +- nekonečno z fce $\mathrm{e}^{y}/y$ . Ta už se počítá dobře. Pro y v okolí minus nekonečna, je čitatel omezený a jmenovatel jde k do minus nekonečna, je tedy limita rovná 0. Pro y jdoucí k plus nekonečnu stačí použít L Hospitala, neboť čitatel i jmenovatel jdou k nekonečnu a dostaneme pak limitu pro y + nekonecno z fce $\mathrm{e}^{y}$ a to je nekonečno.
Podobně po stejné substituci v případě x = +- nekonečno, počítáme limitu pro y jdoucí k +- 0 z fce $\mathrm{e}^{y}/y$ . Čitatel je v okolí spojitý a omezený a jmenovatel jde k +- 0, takže výsledek je +- nekonečno

komar · 13. 11. 2011 15:21

↑ Andrejka3:
moc pomohla děkuji :-) a pomohla by jsi mi ještě prosím Tě. Potřeboval bych určit průsečíky s osami :-) nebo aspon radu :-)

Andrejka3

↑ komar:
To jsem ráda. :)
Průsečíky:
S osou x: Zaprvé leží na ose x :) takže mají druhou souřadnici nulovou, tj. jsou tvaru [x,0]
Zadruhé jsou body té funkce, takže musí být f(x) = 0. Takže řešíš tuhle rovnici. Levá strana je součin dvou věcí - takže stačí, aby aspon jedna z nich byla nula. První člen, $\mathrm{e}^{x}$ , je ale vždy kladný, takže aby součin vyšel nula, musí být druhý činitel nulový, tj. x. Takže bychom psali, že [0,0] je hledaným průsečíkem, ale x = 0 je zakázané, není v definičním oboru. Průsečík s osou x neexistuje.
S osou y: Zaprvé leží na ose y :) takže mají první souřadnici nulovou, tj. jsou tvaru [0,y]
Zadruhé jsou bodem té fce, tj. f(0) = y. Ale 0 není v definičním oboru f, takže f nemá ani průsečík s y.

komar · 13. 11. 2011 18:43

↑ Andrejka3:
ještě bojuji s Asymptotami poradíš ještě prosím :D :-)

Andrejka3

↑ komar:
Asymptoty...
Podle definice, horizontální asymptota f pro x jdoucí do nekonečna je přímka: p(x) = ax +b taková, že
zaprvé lim (f - p)= 0 (pro x do nekonecna) a zároveň lim f/p = 1 pro x do nekonečna.
Analogicky pro x do minus nekonečna.
Lovím to z paměti.
Zkusme spočítat asymptotu pro x do nekonečna.
je lim f = nekonečno. Proto je jasné, že aby lim (f-p) = 0, musi byt lineární člen přímky kladný.
Počítáme lim (f/(ax+b)) =lim ( $\mathrm{e}^{1/x}$ /(a+b/x)) = 1/a. To ma byt rovno 1, tedy a = 1.
Dále taky má být lim (f-(x+b))=lim (x.( $\mathrm{e}^{1/x}$ -1)-b) = lim x.( $\mathrm{e}^{1/x}$ -1) - b = 1 - b = ...0 takze b = 1.
Je tudiz p(x) = x + 1
Analogicky pro asymptotu v minus nekonecnu.
Kdybys nevěděl, jak na tu limitu, tak opět použij tu substituci, a pak to je přímo definice derivace exponenciály v bodě 0 (zprava ale to je fuk), což je jedna :)

komar · 13. 11. 2011 21:16

↑ Andrejka3:
asi by jsi mi to nemohla napsat na papir a poslat na email ze :( tedka jsem se uplne ztratil :(

Andrejka3 · 13. 11. 2011 21:23

↑ komar:
Zkusím. Bude to trvat.

komar · 13. 11. 2011 21:57

↑ Andrejka3:
strašně moc ti děkuji zítra to mám jet odevzdat a už nevím kdo by mi poradil. Kdyžtak toto je můj email pajikonupka@seznam.cz

Andrejka3

↑ komar:
Mame funkci $\text{f}(x) = x\exp{(1/x)}$ .
Hledáme asymptoty. To jsou přímky, které dobře aproximují fci v okolí nekonečna.
Pokud existuje asymptota $p_+$ fce $f(x)$ pro $x \to \infty$ , pak je jediná.
Musí splňovat následující (podle toho se taky počítá):
$\lim_{x\to\infty}(f(x)-p(x)) = 0$ (1),
tedy funkční rozdíl v nekonečnu mizí a též
$lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{p(x)} = 1$ (2)
tedy funkční hodnoty se přibližují dost rychle.
Rovnice přímky je $p(x) = ax + b$ . Musíme ale najít neznámé $a,b$ .
Dosadíme rovnici přímky a funkční předpis do rovnice (2). Levá strana vychází $\lim_{x\to\infty}(x\exp{(1/x)}/(ax+b)) = \lim_{x\to\infty}\frac{x\exp{(1/x)}}{x(a+b/x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{\exp{(1/x)}}{(a+b/x)} = 1/a$ . Pravá strana rovnice je 1. Odkud máme $a=1$ .
Potřebujeme dopočítat $b$ . K tomu použijeme rovnici (1). Pišme levou stranu:
$\lim_{x\to\infty}(x\exp{(1/x)}-(x+b)) = \lim_{x\to\infty}(x(\exp{(1/x)}-1)-b) = \lim_{x\to\infty}(x(\exp{(1/x)}-1) - b$ . Pravá strana rovnice je 0. Takže $b =\lim_{x\to\infty}(x(\exp{(1/x)}-1) = \lim_{y\to 0^+}\frac{\exp(y)-1}{y}=1$ . Je to základní limita, nebo stačí použít l'Hospitala, nebo víme, že derivace exponencialy v nule je jedna a napíšeme definici. Každopádně, $b=1$ , tedy $p_+=x+1$ .\\
Chceme-li spočítat asymptotu $p_-$ stejné fce pro okolí minus nekonečna, postupujeme analogicky, jen musíme změnit v (1) a (2) kam limitíme - do minus nekonecna.
Měj se.

edit: jen oprava závorky