Matematické Fórum

JohnBe

Čau, nevím si rady s těmihle jednoduchými příklady.Matematika nikdy nebyla moje silná stránka.Thx za pomoc
$|9-x^2|=7$

$x^2-7x<0$

lukaszh

↑ JohnBe:
1. Zapíšem si to v tvare $|f(x)|=7$ , potom urcis nulove body
$f(x)=0\nl9-x^2=0\nl x_1=-3,\,x_2=3$
Tieto body ti rozdelia definičný obor na tri intervaly:
$x\in(-\infty,-3\rangle\Rightarrow f(x)\leq0$ , potom $-(9-x^2)=7$
$x\in(-3,3\rangle\Rightarrow f(x)\geq0$ , potom $9-x^2=7$
$x\in(3,+\infty)\Rightarrow f(x)<0$ , potom $-(9-x^2)=7$
Vyriesis rovnice, len pozor na intervaly. Riesenia sa musia nachadzat v danom intervale.

2. Vyjmes pre zatvorku x:
$x^2-7x<0\nl x(x-7)<0$
Podla definicie:
$[(x<0)\wedge(x-7>0)]\vee[(x>0)\wedge(x-7<0)] \nl [(x<0)\wedge(x>7)]\vee[(x>0)\wedge(x<7)]\nl \empty\cup(0;7)=(0;7)$

Opravené ... ;-)

Marian · 31. 07. 2008 15:01 — Editoval Marian (31. 07. 2008 15:01)

↑ lukaszh: V poslednim radku ma byt znak konjunkce (v), nikoliv mnozinove sjednoceni (u), popr. nech sjednoceni, ale odstran hranate zavorky.

Zbyšek · 06. 08. 2008 11:04

Když už jsme u nerovnic.Jsou mé výsledky správné? =o)
$x^2+4>0$
Rovnice má nekonečno mnoho řešení.
$x^2+2x+1<0$
Rovnice nemá řešení, protože po dosazení jakéhokoliv čísla to nemůže být menší jak nula.

Pavel Brožek · 06. 08. 2008 11:12

↑ Zbyšek:

U toho prního nestačí říct, že má nekonečně mnoho řešení (např. v intervalu (0,1) je nekonečně mnoho řešení, ale nejsou všechna), řešením jsou všechna reálná čísla. Druhý OK.

Marian · 06. 08. 2008 11:31

↑ Zbyšek:
hovorime tady o rovnicich nebo nerovnicich? A jaky je tady obor nezname x. To jsou zcela urcujici faktory, bez nichz nelze seriozne diskutovat. A co to znamena jakehokoliv cisla? I komplexniho, protoze pak musim oponovat i BrozekP, ktery pravdepodobne uvazuje pouze realna cisla, jak se da predpokladat na vetsine SŠ. Ale pravidlo to jiste neni.

Pavel Brožek · 06. 08. 2008 19:34

↑ Marian:

Zcela souhlasím. Uvažoval jsem pouze reálná čísla, protože se takto příklady na střední škole obvykle zadávají a Zbyšek neuvedl jinak, měl jsem na to upozornit. V oboru komplexních čísel nerovnice řešení má.

Zbyšek

Ano, jedná se o reálná čísla.Mám tu další dvě nerovnice u kterých si nejsem jist správností výsledku.
1)
$5x^2+2x-3\ge0$
D=64, z toho jsem určil kořeny x1,x2, kterými jsou -1 a $\frac{3}{5}$
Výsledkem mi vyšlo
$x\in(-\infty ,-1\rangle\cup\langle\frac{3}{5},+\infty )$

2)
$x^2+3x<0$
Výsledek
$x\epsilon(-3, 0)$

Marian · 07. 08. 2008 21:09 — Editoval Marian (08. 08. 2008 00:32)

↑ Zbyšek:
Ad 1. S diskriminantem D=64 souhlasím, také kořeny jsou vypočítány správně. Vzhledem k tomu, že koeficient u nejvyšší mocniny je kladný (a=5), je skutečně nerovnice splněna pro všechna reálná čísla intervalu $(-\infty ,-1\rangle\cup\langle\frac{3}{5},+\infty ).$

Ad 2. Také zde je to správně. Metoda může být stejná jako v případě (1), nicméně s výhodou lze uvážit vytknutí a řešení v součinovém tvaru.

Poprosil bych jen trošku přepsat výrazy v TeXu; správně se to píše takto:

Code:

x\in(-\infty ,-1\rangle\cup\langle\frac{3}{5},+\infty )

Dostaneš pak
$x\in(-\infty ,-1\rangle\cup\langle\frac{3}{5},+\infty ).$

Zbyšek

Díky, mám tu poslední tři nerovnice.
1)
$3x^2+2x\ge1$
upravena na tvar:
$3x^2+2x-1\ge0$
D=16
Kořeny vychází -1 a $\frac{1}{3}$
Výsledkem je:
$x\in(-\infty ,-1\rangle\cup\langle\frac{1}{3},+\infty )$
2)
$x^2-2x+1>0$
D=0
Kořeny x1,x2 = 1
Výsledkem je:
$x\in R$
3)
$x^2+1>0$
Výsledkem je:
$x\in R$

Marian · 08. 08. 2008 00:30 — Editoval Marian (08. 08. 2008 00:32)

↑ Zbyšek:
Ad 1. S první úlohou souhlasím.
Ad 2. Nalezení kořenů v druhé úloze je v pořádku (dostaneš dvojnásobný kořen x=1). Dá se to řešit ale i tak, že si všimneš na začátku, že lze napsat
$x^2-2x+1=(x-1)^2.$
Odtud je vidět snadno řešení. Má totiž platit $x^2-2x+1=(x-1)^2>0$ . Tady ale máš chybu, nebo? nelze brát v potaz hodnotu x=1 (tedy kořen kvadratického trojčlenu na levé straně nerovnice). Správné řešení je tedy $x\in\mathbb{R}\setminus\{ 1\}=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty)$ . Sám uvaž, jak by vypadalo řešení v případě že by v zadání byl neostrý znak nerovnosti, tedy znak $\ge$ .
Ad 3. Trojka je správně, tedy $x\in\mathbb{R}$ .