Matematické Fórum

Pavel Brožek

Pro $k\in\mathbb{N}$ definujme množiny

$M_k=\{n\in\mathbb{N}:n\ge k\}$

Určtete, pro které dvojice $k, l\in\mathbb{N}$ ( $k>l$ ) existuje bijekce $f:M_k\to M_l$ taková, že platí $f(a+b)=f(a)+f(b)$ pro všechna $a,b\in M_k$ , případně najděte takovou bijekci.

(Inspirace k úloze pochází odtud.)

vanok · 19. 11. 2011 19:59

Ahoj ↑ Pavel Brožek:,
A f je len banalna bijekcia ?

Pavel Brožek

↑ vanok:

Ahoj,

musí splňovat $f(a+b)=f(a)+f(b)$ , takže bych ji nenazýval banální (pokud tedy „banální“ není matematický pojem, který neznám).

Edit: Upravil jsem, že rovnost musí platit pro všechna $a,b\in M_k$ .

vanok · 19. 11. 2011 20:52

↑ Pavel Brožek:,
Dakujem prave to som chcel vediet.

check_drummer · 19. 11. 2011 22:45

↑ Pavel Brožek:
Ahoj. Jaký je prosím vztah algeber $M_k$ (uvedené zde) a $A_r$ (uvedené v odkazovaném tématu)? A nebo není toto téma motivováno odvozením vlastností $A_r$ ? - S jakou strukturou v původním tématu je potom izomorfní $M_k$ ? Děkuji.

Pavel Brožek

↑ check_drummer:

Ahoj. Bylo to myšleno tak, že pokud dokážeme vyřešit tuto úlohu, tak pak budeme mít snad blíže k vyřešení odkazované úlohy.

Pokud si vezmeme množinu $A_r$ , tak pro každé $i$ a každou posloupnost $a\in A_r$ bude $a_i\in M_{r_i}$ . Pokud bychom nalezli obecně isomorfismus $f_{kl}:M_k\to M_l$ , pak by bylo snadné sestrojit isomorfismus $F$ algeber $A_r$ a $A_s$ pomocí isomorfismů $f_{r_is_i}$ takto: $F(a)_i=f_{r_is_i}(a_i)$ . Snad jsem to nepopletl.

Chtěl jsem ale tuhle úlohu pojmout nezávisle na té odkazované. (Řešení už znám, tedy alespoň myslím.)