Matematické Fórum

Podle tvého zadání:
Student A je v relaci R se studentem B , formálně (X, Y ) ∈ R, právě když
A sedí alespoň o dvě řady před B (tj. mezi nimi je další řada) .
Je tam slovo alespoň.
Předpokládejme, že A je v relaci s B. Předpokládejme, že B je v relaci s C.
Pak B je aspoň dvě řady před A. C je aspoň dvě řady před B. Odtud vidíme, že C je aspoň čtyři řady před A.
Můžeme složenou relací dojít od A k C? Pokud ano, pak je relace tranzitivní. Pokud ne, pak není.

↑ Andrejka3:

No jasně, to slovíčko alespoň tam je, už mi to došlo, takže tranzitivní je :) ... dalo by se tedy mé "oddůvodnění" tranzitivity (ANO), symetrie (NE) a reflexivity (NE) považovat za správné? Zeptám se ještě prosím na tu antisymetrii ... nevím jak ji zde najít :/

REFLEXIVNÍ - Student A nesedí ve stejné řadě jako on sám a A sedí alespoň o dvě řady před sebou samým, čili reflexivní NENÍ
Nepovažuji to za dobré opodstatnění toho, že relace není reflexivní. Mějme množinu {1,2} a na ni relaci R ={(1,2),(2,1)} = S. Relace R a S nejsou reflexivni, ale jejich slozeni je reflexivni.
Neboli, kdybys aplikoval svou logiku na tento případ: 1 se nerovná 1 a 1 se nerovná 1, asi by to vedlo podle tebe na to, že RS není reflexivni. Ale RS = {(1,1),(2,2)}  (rovnost na {1,2}).
Je tomu rozumnět? Kdybys tuto logiku použil už na výslednou, tj. složenou relaci, pak bych s tím problém neměla.

Navrhuji, nakreslit si tu relaci:
_  _  _  _  A  _  _  _  _  _
_  _  _  _  _  _  _  _  _  _
_  _  _  _  _  _  _  _  _  _
_  _  _  _  _  _  _  _  _  _
Dolů je jako před. Neboli zdola se dívá učitel.
Doplnit křížky tam, kam se od studenta A složenou relací můžeme dostat. Je to nejjednodušší cesta, jak to celé dořešit.

↑ Baktor:
Ano, máš pravdu, omlouvám se ajsem ráda, že ses ozval.
Prosím přečti si pár příspěvků výše, něco jsem editovala, je to tam připsané.
_  _  _  _  A  _  _  _  _  _
_  _  _  _  _  _  _  _  _  _
x  x  x  x  x  x  x  x  x  x
x  x  x  x  x  x  x  x  x  x

Tranzitivní podle mě je. Symetrii jsme vyřešili - symetrická není.(jen pozor pokud má třída jen 2 sloupce je složená relace prázdná, protože relace S je pak prázdná. Prázdné relace jsou symetrické).
Reflexivitu jsme vyřešili. Není reflexivní.
Antisymetrie...
Pokud pro každé dva A,B takové, že A je v relaci s B a B v relaci s A platí, že
A=B, pak je relace antisymetrická.
V našem případě žádné A,B takové, že A je v relaci s B a současně B s A nenajdeme. Je proto antisymetrická.

Dobrý den, také řeším podobnou úlohu jako kolegové a také bych rád požádal o překontrolování mých úvah a třeba i o radu :)
Mé zadání zní:
   
   Student X je v relaci R se studentem Y, právě když X sedí jednu řadu před Y.

   Student X je v relaci S se studentem Y,právě když X a Y sedí hned vedle sebe ve stejné řadě.

   Formálně zapsáno tedy
                                     

Po složení mi vychází, že Student X je v relaci S po R, právě když X sedí jednu řadu před Y a zároveň sedí ve sloupci na levo nebo na pravo od něj.

   Formálně tedy

Potom tedy:
   REFLEXIVNÍ: => Není reflexivní
   SYMETRICKÁ: Pokud pak , tedy => Není reflexivní

Chci se zeptat, jestli jsou mé úvahy prozatím správné, nebo je někde chyba. Předem děkuji za pomoc :)
Omlouvám se za LaTeXový zápis SpoR, nenašel jsem odpovídající znak, je tím myšleno tedy S po R

↑ misterion:
Ano, to jsem si u svého zadání původně myslel taky (stačí si přečíst můj příspěvek). Z toho, co jsem zde ale pochopil, se dá říci, že později aplikovaná relace má vyšší "prioritu", než dříve aplikovaná (Jedná se jen o mou úvahu z toho, co jsem si mohl zde a jinde přečíst! Je dost možné, že má uvaha je špatná). Tedy v tvém případě bych relaci S po R složil na X a Y sedí hned za sebou ve stejném sloupci (tedy v podstatě pouze S). Ale jak říkám, je to jen má úvaha, správnost rozhodně nezaručuji, vlastně hlavně kvůli ověření této úvahy jsem napsal sem

Edit: Nebo spíše na X a Y sedí hned za sebou není mezi nimi další řada, ale v RŮZNÝCH sloupcích. Sám se v tom moc nevyznám, ale nakonec jsem došel k tomuto

Edit2: To s tou prioritou je hloupost, spíš si to vem, jako že se nejdřív řídíš tou relací R a na výsledný prvek aplikuješ tu relaci S. Omlouvám se za zmatek :)

↑ misterion:
Relaci si můžeš představit jako šipky. (a,b) je v relaci, právě když vede šipka z a do b.
Složenou relaci pochopitelně taky. Akorát šipka složené relace vede od a k b, právě když se můžete z a dostat do nějakého c šipkou první relace (přestup) a pak z c nastoupit na šipku druhé relace, která vás dovede k b.

Prosím:
Byla bych vděčná, kdyby na tyto úlohy reagoval nějaký zkušenější člověk v oboru než já
:)

↑ Reaper:
Spravne. Rozmyslel sis to dobře.

↑↑ Andrejka3:


Bohužel vůbec nebyl čas se na to v posledních dvou dnech vrhnout, tak se omlouvám, zde jsem sepsal vše, k čemu jsem (hlavně díky vám) dospěl a co jsem pochopil. Myslím, že v porovnání se začátkem jsme dost postoupili a téměř mé zadání vyřešili.

Složená relace
Všichni jsou v relaci se všemi, jen ti v předních dvou lavicích nejsou v relaci s nikým.

Označme M množinu všech studentů.
Označme T = S o T. T = {(m,n) M x M/ m nesedí v prvích dvou lavicích}.

Reflexivita
T není reflexivní.
(Nedokážu se šipkou relace S a relace R dostat zpět ke studentovi, od kterého jsme vycházeli, protože od student v prvních dvou lavicích nevedou šipky relace S.)

Symetrie
    Má-li třída nejvýše 2 řady, je T prázdná a tedy symetrická.
    Má-li třída aspoň 3 řady, není T symetrická.
(Musí existovat (s1,s2) S o R a (s2,s1) S o R. Platí (s1,s2) S o R, ale neplatí (s2,s1) S o R. Nelze jít podle relace S zpět.)

Antisymetrie
    Pokud má třída nejvýše 2 řady, je T prázdná a tedy antisymetrická.
    Pokud má třída právě 3 řady, pak má-li jen jeden sloupec, je T antisymetrická. Má-li ale aspoň dva sloupce, není T antisymetrická.
    Pokud má třída aspoň 4 řady, pak není T antisymetrická.
(Když má třída 3 sloupce a jeden sloupec tak neexistuje jina cesta než se relací S dostat od studenta1 sedícího ve třetí řadě ke studentovi2 sedícího v první řadě a potom relací R zpět ke studentovi1 ve třetí řadě, protože kdybychom relací R vybrali jinou možnost, už bychom relací S nemohli nikam jet. To znamená, že při této variantě, se dostaneme složenou relací vždy od studenta1 ke studentovi 1 a to znamena, že student1=student2. V každém dalším případě větší třídy už máme vice variant jak jet šipkou relace S, tudíž vždy najdeme alespoň jednu dvojičku, kdy se student1 ≠student2.)

Tranzitivita
    Relace T je tranzitivní v každém případě.
(Zde musí platit, abych se dostal složenou relací od studenta1 ke studentovi2 a pak od studenta2 ke studentovi3 a zároveň se dostal primo od studenta1 ke studentovi3. Při 3 řadách a jednom sloupci postupuju stejně jako u antisymetrie při těchto podmínkách. A zde by mi platilo, že student2 je vlastně student3 a tedy se dokážu dostat k němu primo – relaci S od studenta1 ke studentovi3 a relaci R od studenta3 ke studentovi3. No a když máme větší třídu, tak už se vždy najde nějaká možnost, jak splnit podmínku transitivity – třeba takhle:
o    C
o    o
B    A
Tedy relací S půjdeme od A ke studentovi vlevo nahoře, pak relací R od něj k B (tj. x R y) pak relací S od B k C a relací R od C k C (tj. y R z). No a aby platila I druhá cast implikace a tedy výrok byl pravdivý, tak půjdeme relací S od A k C a pak relací R od C k C.

Použil jsem sice skoro vše, co jste mi radila, ale přidal jsem svoje vysvětlení, a snad jsem to pochopil správně. Jen bych prosil, o nějakou radu, jak ty důkazy a protipříklady zapsat nějak formálně, protože pochybuju, že takhle slovně by mi to pak Hliněný uznal.
Už teď jsem vám moc vděčný za pomoc a hlavně trpělivost :-)

↑ r0b1nh0:

Ano. Myšleno tak, že ti v předních lavicích nejsou na prvním místě v relaci = nevede z nich šipka. Ve zvrhlém případě nejvýše dvou řad, pak nejsou ani na druhém místě = nevede do nich šipka, relace je tehdy prázdná.

Ano.

Ano. Napsala bych to tak: Existuje student, který není v relaci sám se sebou: např. ten, který sedí v jedné z prvních dvou lavic. Aby kantorovi bylo jasné, že ty víš, že stačí najít jen jednoho, abys popřel reflexivitu.

Ano. V případě asoň tří řad uveď protipříklad - dvojici, která odporuje symetrii.
Např. Student v třetí řadě je v relaci se studentem v první řadě. Naopak ale ne.

Ano, ale dej pozor na označení studentů. Myslíš to správně, ale potenciální 3 studenty označuješ dvěma symboly. Kantorovi musí být jasné, že tomu rozumíš, ale počítač by to spletlo.

Formulace se mi nelíbí.
''(Zde musí platit, abych se dostal složenou relací od studenta1 ke studentovi2 a pak od studenta2 ke studentovi3 a zároveň...''
Napsala bych to tak: V PŘÍPADĚ, ŽE se lze dostat od studenta1 ke studentovi2 a od studenta2 ke studentovi3, PAK se požaduje, aby...
Aby bylo kantorovi jasné, že víš, že relace může být transitivní, kdyby trojice studentů A->B, B->C vůbec neexistovala (např. prázdná). Pokud ovšem takové trojice jsou, musíš najít cesty přímé. Dokázat, že pro libovolnou takovou trojici to umíš.

Použij kvantifikátory a matematické vyjádření relace T.

Ať je pocet rad a je pocet sloupcu ve tride.
je množina studentů.
Pak relace

Reflexivita
Je , nebot . Tedy je pravda, ze , tudíž T není reflexivní.

Symetrie
Postupujme podle velikosti .
1) je symetricka.
2) (Ukázala jsem totiž, že )

Antisymetrie

Tranzitivita

Edit: přepis ve značení.
Pridana tranzitivita.