Matematické Fórum

George1511 · 13. 08. 2008 17:32

V Rovině je dáno 10 bodů, z nichž žádné tři neleží v jedné přímce.
a)Kolik kružnic lze jimi určit?
To ještě chápu, to se rovná 120
Ale odtud uz nevim jak dal nemohl by mi někdo prosim pomoct...
b)Kolik kružnic je určeno, leží-li právě 6 bodů na jedné kružnici?

Je dáno 10 různých bodů v prostoru, z nichž žádné čtyři neleží v jedné rovině.
a)Kolik rovin lze jimi proložit?
b)kolik rovin lze jimi proložit , leží-li 4 body v jedné rovině?

Určete počet prvků n, je-li počet kombinací druhé třídy 66.

Kondr · 13. 08. 2008 21:07

1b)
Nepočítáme-li kružnici k s 6 body, jsou tři typy kružnic:
i) dva dané body sdílí s k, jeden daný bod mimo k: (6 nad 2)*(4 nad 1)=60
ii) jeden daný bod bod sdílí s k, dva dané body mimo: (6 nad 1)*(4 nad 2)=36
iii) žádný daný bod nesdílí s k, tři dané body mimo: (6 nad 0)*(4 nad 3)=4
Celkem tedy 101 kružnic.

2a) Rovinu určuje trojice bodů, tu lze vybrat (10 nad 3)=120 způsoby.

2b)Analogicky s 1b): v rovině r leží 4 body, zbylé mimo. Ostatní roviny rozdělíme podle toho, kolik daných bodů mají společných s r.
Dojdeme tak k počtům (4 nad 2)*(6 nad 1),(4 nad 1)*(6 nad 2),(4 nad 0)*(6 nad 3), stačí posčítat a připočíst rovinu r.

Lze uvažovat i tak, že v 1b) jsme do původního počtu 120 kružnic kružnici k započetli (6 nad 3)=20-krát, musíme tedy 19 kružnic odečíst.
Ve 2b) jsme rovinu r započetli (4 nad 3)=4-krát, musíme 3 roviny odečíst.

jelena · 13. 08. 2008 21:08

↑ George1511:

Zdravím :-)

Ja se pokusim - kolegove vedeji o moji zalibe v kombinatorice, budu vdecna za kritiku :-)

1a) - kombinace z 10 po 3 - OK

1b) - opet mame C(3,10) ovsem od vsech mozných kruznic musíme odecist 19 kruznic. To jsou totiz kruznice vytvorene ze 6 bodu (ze 6 bodu muzeme pomoci kombinace C(3,6) vytvorit 20 kruznic. Pokud ale vsech techto 6 bodu lezi na jedne kruznice, tak z 20 muzeme pouzit pouze 1 kruznici).

Prakticky: C(3, 10) - (C(3,6) -1) = 120 - 20 +1

Rovinu můzeme zadat pomoci 3 bodu nelezicich na 1 primce.

2a) - celkovy pocet rovin: kombinace z 10 po 3

C(3,10)=120

2b) Pokud 4 body lezi v rovine - muzeme vyuzit pouze 1 rovinu takto vytvorenou, zbytek je nepouzitelny - roviny s prekrývaji

Prakticky: C(3,10) - (C(3,4) +1) = 120 - 4+1

3. Určete počet prvků n, je-li počet kombinací druhé třídy 66.

tady pouzijes kombinacni cislo C(2,n)=66

$\frac{n!}{2!(n-2)!}=66$

$\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=66$ tuto rovnici je potreba vyresit.

OK?

jelena · 13. 08. 2008 21:13

↑ Kondr:

Zdravím :-):-)

sama nad sebou zasnu? ja to snad mam dobre :-)

Jeste jednou blahopreji k Q :-)

O.o · 14. 08. 2008 01:13

↑ Kondr:
Hi :),
můžu se prosím tě jen zeptat na takovou drobnost (budu předpokládat, že ano, takže pokračuji v dotazu ^.^)? Na střední nás učili, že u kombinačních čísel (doufám, že jsem nespletl ten název) nesmí být "to dole" větší než "to nahoře" (viz. ... (2 nad 4)*(1 nad 6),(1 nad 4)*(2 nad 6),(0 nad 4)*(3 nad 6) ...)? Jak to prosím tě je?

Děkuji moc..

George1511

dik moc... muzu se jeste jen zeptat jestli ten posledni priklad ma vypadat takhle???(jestli to je spravne??)
$\frac{n(n-1)}{2}=66$
$n(n-1)=66*2$
$n^2-n-132=0$
$D=b^2-4ac=1-4*1*(-132)=529$
$\sqrt{D}=\sqrt{529}=23$
$n_{1,2}=\frac{b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{1\pm23}{2}= n_1=12, n_2= -11$

Cheop · 14. 08. 2008 14:43 — Editoval Cheop (14. 08. 2008 14:52)

↑ George1511:

Je to dobře s tím, že pochopitelně kořen $n_2=-11$ nevyhovuje
takže řešením je $n=12$

Protože platí:
$\frac{12(12-1)}{2}=\frac{12\cdot 11}{2}=6\cdot 11=66$

George1511

Jelena: dik moc....Prosimte skoro to chapu ale nemohla by jsi mi nejak vysvetlit jak jsi u 2)b.... jak jsi zjistila ze musis odecist tu 1 z tech C(3,6) ???
potřeboval bych to nejak pochopit k reparatu... Dk...

A mohl bych nekoho poprosit jestli by mi z tohole prikladu(1) napsal jak ma vypadat ta zacatecni "rovnice"..... ja jsem to zkousel nekolikrat ale vychazeji mi "blbosti"..
1)Zvětší-li se počet prvků o 1,zvětší se počet kombinací třetí třídy o 21. Kolik je dáno prvků??

jelena · 14. 08. 2008 17:42

↑ George1511:

Zdravim :-)

Zkus se podivat take na postup od kolegy Kondra - jeho postup se take muze hodit (a navíc kolega Kondr je dalekoooooo vetsi opravdovy matematik, nez ja :-)

Ja na to mam polopatickou pomucky - moje postupy:

1) 3 body urcuji jednu rovinu (muzes si to overit, ze stul na 3 nohou je vzdy stabilni).

2) mam celkem 10 bodu (treba A, B, C, D, E, F....celkem 10) - budu tvorit "trojice" - kolik ruznych trojic je mozne? Na poradi bodu nezalezi - proto kombinace po 3 z 10 prvku. Az sem, myslim, vsemu rozumis.

3) V zadani je dano, ze 4 body lezi v 1 rovine:
pro predstavu si nakresli na stul body A, B, C, D. Mohu tvorit roviny podle stejneho postupu - po trojicich (ABC, ABD, ACD....) ale porad mam tu stejnou rovinu desky stolu.

Zjistuji, ze pokud nejaky bod navíc bude lezet ve stejne rovine jako ostatni 3, tak přicházím o roviny, co bych mohla vytvorit - je to "nepouzitelne" ke kombinaci s ostatnimi body ve stejné rovine - s ostatnimi body mimo tuto rovinu mohu kombinovat.

Zkratka veskere trojice, co vytvorim z techto 4 bodu porad zadavaji jen jednu a tu stejnou rovinu stolu. Proto veskere trojice mohu hodit do koše (odečist)? Ale ne, nevyhodim uplne vsechno - jednu rovinu ponecham - proto je minus 1 v zavorce.

Rozumis tomu tak? - klidne se ptej :-)

A pro kontrolu příklad: mame z 10 zadanych 8 bodu v jedne rovine - kolik mohu vytvorit rovin?

Kondr · 14. 08. 2008 18:27

↑ O.o:
Nás na střední učili, že ${n\choose k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ . Takže to nahoře může být menší než to dole, ale pak to vyjde nula. Stejně tak to nahoře nemusí být celé číslo, což se hodí, když chceš přibližně spočítat binomickou větou třeba odmocninu z 1,001 nebo třetí odmocninu z 28...

A jinak dík za připomínku, ve svém příspěvku jsem to měl blbě.

O.o · 14. 08. 2008 19:35

↑ Kondr:
Díky moc :),
já jsem jen chtěl vědět, jak to je, abych si to nezapamatoval nějak špatně ^.^

jelena · 14. 08. 2008 20:08

↑ George1511:

Jeste k slovni uloze, co mas:
1) Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet kombinací třetí třídy o 21. Kolik je dáno prvků??

Původně máme x prvků, zvětšíme o 1 a máme (x+1) prvků.

Kombinace 3. třídy z x prvků $C(3,\ x)=\frac{x!}{3!(x-3)! }$ - původně.

Kombinace 3. třídy z (x+1) prvků $C(3,\ (x+1))=\frac{(x+1)!}{3!((x+1)-3)!}$ - po zvětšení počtů prvků o 1.

Ted použijeme myšlenku, že kombinací z (x+1) o 21 více, než kombinací z x

$C(3,\ (x+1))-C(3,\ x)=\frac{(x+1)!}{3!((x+1)-3)!}-\frac{x!}{3!(x-3)!}=21$ rozepiší faktoriál a trochu upravím levou stranu:

$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)!}{3!(x-2)!}-\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}=21$

$\frac{(x+1)x(x-1)}{6}-\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=21$

levou a pravou stranu vynásobím 6 a abych nemusela roznasobovat závorky a dávat si pozor na znaménka, tak radej vytknu x(x-1) - ale můžeš i roznasobit

$x(x-1)((x+1-(x-2))=126$

$3x(x-1)=126$

$x^2-x-42=0$

to vypadá nadějně, z výsledků použíjeme pouze přirozené číslo, záporně nebrat. OK?

George1511

Jelena:Za všechno ti moc děkuju.... tam ten priklad jak jsem nechapal mi dovysvetlil kondr.... vysledek toho tvyho prikladu je 65rovin...
neni nahodou tohle lepši,kratši... to my pomohl Kondr..
(n+1) nad (3)=(n) nad (3) +21
$\frac{(n+1)(n)(n-1)}{6}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}+21$
$\frac{3}{6}n(n-1)=21$
$n(n-1)=42$
$n^2-n-42=0$

Kondr · 15. 08. 2008 00:14

↑ George1511: Příště pozor na TeX. Jinak moje a Jelenino řešení je prakticky stejné.
Moje je kratší, protože na ICQ jsem se nechtěl moc rozepisovat :o).

Pokud tě v Jelenině řešení děsí všecky ty vykřičníky, můžeš používat definici kombinačního čísla ve tvaru
${n\choose k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ . Je to trochu obecnější (jak jsem naznačil -- ↑ Kondr: -- v souvislosti s nekonečnými řadami, což je ale pro naše úlohy nepodstatné), na druhou stranu pokud pomocí ní chceš počítat ${20\choose17}$ apod., je potřeba mít na paměti vztah ${n\choose k}={n\choose n-k}$ .

semik · 15. 09. 2008 21:11

Zdravím, mohl (a) by mě někdo vysvětlit jak počítat tento příklad ? Potřeboval bych spíše teoretické vysvětlení proč, jelikož nechápu rozdl mezi a) a bcd). Díky

Kolik přímek je určeno 6 body, jestliže a) žádné tři z nich neleží na jedné přímce, b) tři body leží na jedné přímce, c) tři a tři body leží na přímce, d) čtyři body leží na jedné přímce?

Marian · 15. 09. 2008 21:49 — Editoval Marian (15. 09. 2008 22:03)

↑ semik:
Je nutné si uvědomit, že přímka je jednoznačně určena dvěma body, na jejichž pořadí nezáleží. Proto budeme tvořit dvojice (z celkem šesti prvků - v tomto případě šesti bodů v jediné rovině) na jejichž pořadí nezáleží. Jinak řečeno, máme co do činění s kombinacemi druhé třídy ze šesti prvků. Teď k jednotlivým případům:

(a)
Jestliže žádné tři neleží v jediné přímce, pak každou dvojicí bodů je dána jistá přímka. Odtud pro počet n těchto přímek
$n=C_2(6)={6\choose 2}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15.$

(b)
Jestliže existuje mezi danými šesti body jediná trojice mající vlastnost, že leží na jediné přímce, pak touto trojicí bodů je dána jediná přímka a žádná jiná. Jenže právě tyto tři body snižují celkový počet možných přímek. Počet přímek, které jsou dány těmito třemi body (neležely-li by na jediné přímce) je $C_2(3)$ . Nesmíme však zapomenout na přímku, která obsahuje zmiňovanou trojici. Takže celkový počet přímek v případě (b) je
$n=C_2(6)-C_2(3)+1=13.$

c)
Podobně lze postupovat také zde. Napíšu jen vztah pro výpočet, diskuzi si rozmysli sám:
$n=C_2(6)-C_2(3)-C_2(3)+1+1.$

(d)
$n=C_2(6)-C_2(4)+1.$

Matematické Fórum

#1 13. 08. 2008 17:32

Kombinace

#2 13. 08. 2008 21:07

Re: Kombinace

#3 13. 08. 2008 21:08

Re: Kombinace

#4 13. 08. 2008 21:13

Re: Kombinace

#5 14. 08. 2008 01:13

Re: Kombinace

#6 14. 08. 2008 14:09 — Editoval George1511 (14. 08. 2008 14:09)

Re: Kombinace

#7 14. 08. 2008 14:43 — Editoval Cheop (14. 08. 2008 14:52)

Re: Kombinace

#8 14. 08. 2008 17:16 — Editoval George1511 (14. 08. 2008 19:04)

Re: Kombinace

#9 14. 08. 2008 17:42

Re: Kombinace

#10 14. 08. 2008 18:27

Re: Kombinace

#11 14. 08. 2008 19:35

Re: Kombinace

#12 14. 08. 2008 20:08

Re: Kombinace

#13 14. 08. 2008 23:15 — Editoval George1511 (15. 08. 2008 10:53)

Re: Kombinace

#14 15. 08. 2008 00:14

Re: Kombinace

#15 15. 09. 2008 21:11

Re: Kombinace

#16 15. 09. 2008 21:49 — Editoval Marian (15. 09. 2008 22:03)

Re: Kombinace

Zápatí