Matematické Fórum

jimbo93 · 21. 11. 2011 21:31

Zdravím, narazil sem na problém, u příkladu z Petakový na straně 167, cvičení 110.

Má se spočítat obsah rovinného obrazce omezeného grafem fce f(x) a tečnou ke grafu f(x) v bodě A a přímkou p.

A(2;4)
p: x = -2

f(x) = $\frac{1}{2} x^{2} +2$

Spočítal jsem meze od -2 do 2.

A když jsem uděal určitý integrál pouze pro tu fci, bez přímky, vyšel mi správný výsledek. Jak je to možné?

To samé se mi stalo u příkladu, kde se má spočítat obsah obrazce omezeneho fcemi

$y^{2} = 4x-4$

$y^{2} = 8x - 16$

Meze mi vyšli od 1 do 3. A když jsem zintegroval pouze tu první fci a neodečetl jsem o ní tu druhou, také mi to vyšlo správně. Přijde mi to divné. Chybu jsem snad neudělal.

Díky moc za pomoc

Hanis · 21. 11. 2011 21:42 — Editoval Hanis (21. 11. 2011 22:07)

Ahoj, nejrpve si načrtnu situaci:
Pro tečnu funkci zderivuju:
f'(x)=x
f'(2)=2
Takže tečna procházející bodem [2;4] má směrnici 2
y=2x+c
dopočteme c
4=2*2+c
c=0

Už vidíš chybu?

jimbo93 · 21. 11. 2011 21:47

↑ Hanis: No, pochopil sem, jak si získal rovnici té přímky, já ji získal taky ale o moc složitěji, dal sem do rovnosti predpis fce a obecny predpis primky. Ta chyba mi ještě ale není jasná :/

Hanis · 21. 11. 2011 21:50 — Editoval Hanis (21. 11. 2011 21:50)

Napiš prosím, jak jsi získal rovnici tečny. Z tvého zápisu jsem vyrozuměl, že tvá tečna má rovnici
t: x=-2
kdežto moje má rovnici
t: y=2x
Čímž vzniká jiný útvar atd. Základ je vždy si situaci dobře načrtnout :-)

jimbo93

↑ Hanis: Asi sme si špatně rozumněli, taky jsem získal tečnu o rovnici y=2x.

dal jsem do rovnosti

$\frac{1}{2} x^{2} +2 = kx +q$
Z dabelske kvadratické rovnice mi vyšlo, že
k=2
q=0
tedy že y = 2x.

Hanis · 21. 11. 2011 22:00

Tak přiznám se, že je pro mne záhadou, jak se ti podařilo z jedné rovnice podařilo vypočítat 2 neznámé.
Nicméně předpokládejme, že propříště funkci zderivuješ a najdeš rovnici, tak, jako jsem to udělal já (tímto způsobem jsem si 100% jistý).
Podle mého obrázku jsou meze 0 a 2, zatím co ty máš -2 a 2.
Jak jsi prosím k tomuto došel? Děkuji.
btw: neber to prosím tak, že tě péruju, vyjadřuji se stroze, aby to bylo přehledné...

jimbo93

Ještě tam hraje roli rovnice, když sem dosadil bod A do předpisu přímky.

4=2k + q . Což jsem dosadil do diskriminantu za q. Ale to už je jedno, derivace je přijemnější.

To -2 jsem získal ze zadaní, je to omezeno grafem, tečnou a přímkou p x=-2 .

E: Meze od -2 do 2 jsou správně. Výsledek je $\frac{32}{3}$ . Derivace byl ten kámen urazu. Díky moc

Hanis · 21. 11. 2011 22:14

Děkuji, konečně si rozumíme. :-)
Editoval jsem graf ↑ Hanis:, takže máš spočítat obsah "křivoúhelníku" [-2;-4][-2;4][2;4].
Jak vidíš, část tohoto útvaru je pod osou x, tvoří trojúhelník. Pokud spočítáš určitý integrál, vypočítáš pouze obsah obrazce pod křivkou až k ose x (bez té části pod). Nicméně když se podíváš blíž, tenhle trojúhelník pod osou x přesně pasuje pod tečnu (oblast, kterou bys musel odečítat), takže vážně stačí spočítat integrál
$\int_{-2}^{2}(\frac{x^2}2+2)dx$
Blbě se to vysvětluje, ale dá se k tomu dojít také tak, že obrazec "rozstříháš" a vypočítáš obsahy zvlášť (pod osou, nad osou x) a následně je posčítáš.
Je to alespoň trochu srozumitelné?

jimbo93 · 21. 11. 2011 22:27

↑ Hanis: Určitě. Díky.

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2011 21:31

Integrální počet- obsah plochy

#2 21. 11. 2011 21:42 — Editoval Hanis (21. 11. 2011 22:07)

Re: Integrální počet- obsah plochy

#3 21. 11. 2011 21:47

Re: Integrální počet- obsah plochy

#4 21. 11. 2011 21:50 — Editoval Hanis (21. 11. 2011 21:50)

Re: Integrální počet- obsah plochy

#5 21. 11. 2011 21:55 — Editoval jimbo93 (21. 11. 2011 21:56)

Re: Integrální počet- obsah plochy

#6 21. 11. 2011 22:00

Re: Integrální počet- obsah plochy

#7 21. 11. 2011 22:05 — Editoval jimbo93 (21. 11. 2011 22:09)

Re: Integrální počet- obsah plochy

#8 21. 11. 2011 22:14

Re: Integrální počet- obsah plochy

#9 21. 11. 2011 22:27

Re: Integrální počet- obsah plochy

Zápatí