Matematické Fórum

joker · 20. 08. 2008 02:18 — Editoval joker (20. 08. 2008 02:29)

Množinou všech realných čísel vyhovujících nerovnici x-1 > |x| je prázdná množina ?

A v nerovnici |2x - 1| < 7 je výsledkem množina (-3,4) ??

Děkuji

O.o · 20. 08. 2008 02:23 — Editoval O.o (20. 08. 2008 02:27)

↑ joker:
Vypadá to tak, že ano (jestli jde o množinu řešení nerovnice) - tedy jen odhaduji, ale na pohled to, tak vypadá (tím myslím, že si můžeš zkusit dosadit pár nekladných a pár kladných čísel a tím se o tom přesvědčit) ;)

musixx · 20. 08. 2008 09:52 — Editoval musixx (20. 08. 2008 09:58)

Asi by to chtelo si uvedomit, jaky je obecny navod na reseni rovnic a nerovnic s absolutni hodnotou. Najdeme tzv. nulove body, tedy body, kde je argument absolutni hodnoty nulovy. Tyto nulove body nam rozdeli realnou osu na nekolik intervalu a reseni hledame vzdy v kazdem z techto intervalu. Resenim rovnice je cislo, resenim nerovnice je interval. U rovnice overime, je-li vysledek v intervalu, ve kterem jsme pocitali. Je-li tak, pak jsme nalezli reseni, neni-li tak, pak reseni v tomto intervalu neexistuje. U nerovnice je vysledkem prunik intervalu, ve kterem jsme pocitali, s intervalem, ktery nam vysel jako reseni.

Poznamka: je celkem jedno, ke kteremu intervalu "pridelime" onen nulovy bod, nebot $|0|=0=-0$ .

Aplikuji-li tedy tuto obecnou metodu na $x-1>|x|$ , mam:

Nulovy bod je jediny, a to $0$ .

I. Na intervalu $(-\infty;0\rangle$ je tedy $|x|$ totez jako $-x$ . Tedy mame resit $x-1>-x$ , coz dava $2x>1$ , tedy $x>0.5$ , tedy resenim by byl interval $(0.5;\infty)$ . My jsme se ale zajimali jen o ta $x$ , ktera jsou mensi nez nula, neboli tento prvni interval nam nedal zadne reseni.

II. Na intervalu $(0;\infty)$ je $|x|$ totez jako $x$ . Tedy mame resit $x-1>x$ , coz dava $-1>0$ , coz nema reseni, neboli resenim je prazdny interval a ten v pruniku s cimkoli dava prazdny interval.

Proto prvni uloha nema reseni.

Uloha druha ma nulovy bod $0.5$ .

I. Na intervalu $(-\infty;0.5\rangle$ je tedy $|2x-1|$ totez jako $-(2x-1)$ . Tedy mame resit $-2x+1<7$ , coz dava $2x>-6$ , tedy $x>-3$ , tedy resenim je interval $(-3;\infty)$ v pruniku s $(-\infty;0.5\rangle$ , tedy $(-3;\infty)\cap(-\infty;0.5\rangle=(-3;0.5\rangle$ .

II. Na intervalu $(0.5;\infty)$ je $|2x-1|$ totez jako $2x-1$ . Tedy mame resit $2x-1<7$ , coz dava $x<4$ , tedy resenim je interval $(-\infty;4)$ v pruniku s $(0.5;\infty)$ , tedy $(-\infty;4)\cap(0.5;\infty)=(0.5;4)$ .

Celkove ma tedy druha uloha reseni $(-3;0.5\rangle$ a $(0.5;4)$ , tedy sjednoceni techto dvou intervalu $(-3;0.5\rangle\cup(0.5;4)$ , coz samozrejme je $(-3;4)$ .

Toliko k obecnemu reseni.

------------------------------------------------------------------------------

V takovychto jednoduchych pripadech je vsak take mozno udelat snazsi uvahu. Neni na ni vsak zadny "mustr" a rekl bych, ze vyzaduje jistou zkusenost.

Nerovnost prikladu prvniho je zrejme splnena jen tehdy, je-li leva strana kladna (vzdyt absolutni hodnota je vzdy nezaporna a chceme, aby to vlevo bylo vetsi). Leva strana je ale kladna jen pro $x$ kladne (a to jeste ani dokonce ne pro vsechna), no ale nikdy preci nemuze byt $x-1$ vetsi nez $x$ . Proto zadne reseni.

Nerovnost prikladu druheho je nerovnosti mezi nezapornymi cisly, tedy umocneni na druhou je ekvivalentni uprava, a tedy resime $4x^2-4x+1<49$ , coz po odecteni a vydeleni ctymi dava $x^2-x-12<0$ . Rozkladem na korenove cinitele mame $(x-4)(x+3)<0$ , no a soucin dvou cinitelu je zaporny jen tehdy, je-li jeden cinitel zaporny a druhy kladny. Kdyz je ale $x+3$ zaporne, tak $x-4$ nebude urcite kladne (vzdyt je mensi nez $x+3$ ). Zbyva tedy $x-4<0$ a soucasne $x+3>0$ , coz dava presne $x\in(-3;4)$ .

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2008 02:18 — Editoval joker (20. 08. 2008 02:29)

Rovnice

#2 20. 08. 2008 02:23 — Editoval O.o (20. 08. 2008 02:27)

Re: Rovnice

#3 20. 08. 2008 09:52 — Editoval musixx (20. 08. 2008 09:58)

Re: Rovnice

Zápatí