Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 08. 2008 02:18 — Editoval joker (20. 08. 2008 02:29)

joker
Příspěvky: 130
Reputace:   
 

Rovnice

Množinou všech realných čísel vyhovujících nerovnici x-1 > |x| je prázdná množina ?

A v nerovnici |2x - 1| < 7 je výsledkem množina (-3,4) ??


Děkuji

Offline

 

#2 20. 08. 2008 02:23 — Editoval O.o (20. 08. 2008 02:27)

O.o
Veterán
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: Rovnice

↑ joker:
Vypadá to tak, že ano (jestli jde o množinu řešení nerovnice) - tedy jen odhaduji, ale na pohled to, tak vypadá (tím myslím, že si můžeš zkusit dosadit pár nekladných a pár kladných čísel a tím se o tom přesvědčit) ;)

Offline

 

#3 20. 08. 2008 09:52 — Editoval musixx (20. 08. 2008 09:58)

musixx
Místo: Brno
Příspěvky: 1771
Reputace:   45 
 

Re: Rovnice

Asi by to chtelo si uvedomit, jaky je obecny navod na reseni rovnic a nerovnic s absolutni hodnotou. Najdeme tzv. nulove body, tedy body, kde je argument absolutni hodnoty nulovy. Tyto nulove body nam rozdeli realnou osu na nekolik intervalu a reseni hledame vzdy v kazdem z techto intervalu. Resenim rovnice je cislo, resenim nerovnice je interval. U rovnice overime, je-li vysledek v intervalu, ve kterem jsme pocitali. Je-li tak, pak jsme nalezli reseni, neni-li tak, pak reseni v tomto intervalu neexistuje. U nerovnice je vysledkem prunik intervalu, ve kterem jsme pocitali, s intervalem, ktery nam vysel jako reseni.

Poznamka: je celkem jedno, ke kteremu intervalu "pridelime" onen nulovy bod, nebot $|0|=0=-0$.

Aplikuji-li tedy tuto obecnou metodu na $x-1>|x|$, mam:

Nulovy bod je jediny, a to $0$.

I. Na intervalu $(-\infty;0\rangle$ je tedy $|x|$ totez jako $-x$. Tedy mame resit $x-1>-x$, coz dava $2x>1$, tedy $x>0.5$, tedy resenim by byl interval $(0.5;\infty)$. My jsme se ale zajimali jen o ta $x$, ktera jsou mensi nez nula, neboli tento prvni interval nam nedal zadne reseni.

II. Na intervalu $(0;\infty)$ je $|x|$ totez jako $x$. Tedy mame resit $x-1>x$, coz dava $-1>0$, coz nema reseni, neboli resenim je prazdny interval a ten v pruniku s cimkoli dava prazdny interval.

Proto prvni uloha nema reseni.

Uloha druha ma nulovy bod $0.5$.

I. Na intervalu $(-\infty;0.5\rangle$ je tedy $|2x-1|$ totez jako $-(2x-1)$. Tedy mame resit $-2x+1<7$, coz dava $2x>-6$, tedy $x>-3$, tedy resenim je interval $(-3;\infty)$ v pruniku s $(-\infty;0.5\rangle$, tedy $(-3;\infty)\cap(-\infty;0.5\rangle=(-3;0.5\rangle$.

II. Na intervalu $(0.5;\infty)$ je $|2x-1|$ totez jako $2x-1$. Tedy mame resit $2x-1<7$, coz dava $x<4$, tedy resenim je interval $(-\infty;4)$ v pruniku s $(0.5;\infty)$, tedy $(-\infty;4)\cap(0.5;\infty)=(0.5;4)$.

Celkove ma tedy druha uloha reseni $(-3;0.5\rangle$ a $(0.5;4)$, tedy sjednoceni techto dvou intervalu $(-3;0.5\rangle\cup(0.5;4)$, coz samozrejme je $(-3;4)$.

Toliko k obecnemu reseni.

------------------------------------------------------------------------------

V takovychto jednoduchych pripadech je vsak take mozno udelat snazsi uvahu. Neni na ni vsak zadny "mustr" a rekl bych, ze vyzaduje jistou zkusenost.

Nerovnost prikladu prvniho je zrejme splnena jen tehdy, je-li leva strana kladna (vzdyt absolutni hodnota je vzdy nezaporna a chceme, aby to vlevo bylo vetsi). Leva strana je ale kladna jen pro $x$ kladne (a to jeste ani dokonce ne pro vsechna), no ale nikdy preci nemuze byt $x-1$ vetsi nez $x$. Proto zadne reseni.

Nerovnost prikladu druheho je nerovnosti mezi nezapornymi cisly, tedy umocneni na druhou je ekvivalentni uprava, a tedy resime $4x^2-4x+1<49$, coz po odecteni a vydeleni ctymi dava $x^2-x-12<0$. Rozkladem na korenove cinitele mame $(x-4)(x+3)<0$, no a soucin dvou cinitelu je zaporny jen tehdy, je-li jeden cinitel zaporny a druhy kladny. Kdyz je ale $x+3$ zaporne, tak $x-4$ nebude urcite kladne (vzdyt je mensi nez $x+3$). Zbyva tedy $x-4<0$ a soucasne $x+3>0$, coz dava presne $x\in(-3;4)$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson