Matematické Fórum

slav3k · 26. 11. 2011 19:36 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 13:40)

Zdravím, vím jak mám postupovat při vyšetřování průběhu ale zaseknul jsem se na pár věcěch. Vypíšu vám to zde přehledně:

Prosím o pomoc s červenými částmi děkuji, popř doplnění, jeslti můj postup není kompletní ?. Popř kdo by byl tak hodný a projel to celé a měl připomínky, budu velmi rád.

FCE: $f(x)=10x^{2}e^{-\frac{3}{x}}$

KROK 1

$Df=R-{0}$

KROK 2

Určil jsem že není sudá, lichá ani periodičná

KROK 3
Spojitost vyšetřena, ze znalosti průběhů elementárních fcí.

KROK 4
V celém svém Df je kladná (nad osou x)

KROK 5
Zde provádím limity +- inf a v bodě nespojitosti (0):

(plus nekonečno)
$\lim_{x\to\infty } 10x^{2}e^{-\frac{3}{x}}=\infty$
(mínus nekonečno)
$\lim_{x\to\infty- } 10x^{2}e^{-\frac{3}{x}}=\infty$
(nula z prava)
$\lim_{x\to\ 0+ } 10x^{2}e^{-\frac{3}{x}}=0$

Problém č. 1: ZDE NEMŮŽU VYPOČÍTAT LIMITU PRO NULU Z LEVA :-(((( !!!!pomoc pls!!!!
$\lim_{x\to\ 0- } 10x^{2}e^{-\frac{3}{x}}=?$

KROK 6

První derivace
$f'(x) = 10e^{-\frac{3}{x}}(2x+3)$

Položeno rovno nule: kořen $x=-\frac{3}{2}$

Před kořenem je klesající, v kořeni je lokální minimum, za kořenem stoupá

KROK 7

Druhá derivace
$f''(x)=\frac{10e^{-\frac{3}{x}}(2x^{2}+6x+9)}{x^{2}}$

VYŘEŠENO Problém č.2:položeno rovno nule mi vychází záporný diskriminant, co mám dělat když to nemá kořeny v R ????

KROK 8
VYŘEŠENO Problém č. 3:Asymptoty: zde prosím o nastínění postupu, něco jsme se učili. Asymptoty se směrnicí a bez, ale uplně chytrý z toho nejsem. Věděli by jste o pěkném studijním materiálu, hlavně jednoduchém ? :-((

KROK 9
nakreslit fci

OiBobik

↑ slav3k:

Ahoj,

limita:
$\lim_{x\to\ 0- } 10x^{2}e^{-\frac{3}{x}}=\lim_{x\to\ 0- } 10 e^{\ln(x^2)} e^{-\frac{3}{x}}=\lim_{x\to\ 0- } 10 e^{2 \ln|x|-\frac{3}{x}}$ ,
stačí vyšetřit $\lim_{x \to 0_-}2\ln{|x|}-\frac{3}{x}$ a použít větu o limitě složené funkce
__________________________________________________________________________

druhá derivace:
Pokud druhá derivace nemá kořeny, tím lépe, alespoň toho není tolik co vyšetřovat, kritických bodů je méně. Pozn: Je třeba uváži nejen nulové body druhé derivace, ale také body, v níž není druhá derivace definována! (to samé u první derivace)

Asymptoty:
Nemám k tomu žádné studijní materiály, ale pamatuji se, že když jsem to loni v zimě potřeboval, postačila obyčejná wiki - co si tak pamatuji, úpně to stačilo (ony limity pro výpočet a,b u as. se směrnicí se snadno odvodí z limity v definici, takže tam opravdu není příliš co řešit).

standyk

↑ slav3k:

Ak tá druhá derivácia nemá koreň tak to znamená že nemá inflexný bod a teda na celom svojom D(f) je buď konvexná alebo konkávna podľa toho aké znamienko nadobúda ten výraz.

slav3k · 26. 11. 2011 19:46 — Editoval slav3k (26. 11. 2011 19:57)

↑ OiBobik:

díky, přepíšu si to a popřemýšlím si nad tím, pojem limita složené fce je pro mě nový, zkusím najít

↑ standyk:
napadlo mě to, ale neměl jsem to podložené děkuji. Potvrdil by mi to ještě někdo pro jistotu ?

Takže šlo by to takhle??
" -> druhá der. nemá kořeny v R -> na celém svém Df je tedy buď konvexní nebo konkávní viz zkouška dosazením libovolného bodu z Df:
$f''(1)= 2+6+9 = 17$
-> je konvexní na celém Df

THX!!!!

OiBobik

↑ slav3k:

Pozor, jak píšu výše, to, co píše ↑ standyk:, by byla pravda, pokud by byla funkce druhé derivace všude spojitá. Ale ono se taky může stát, že před bodem nespojitosti bude druhá derivace všude kladná a za ním všude záporná, no a pak je pův. fce na jedné části definičního oboru konvexní a na druhém konkávní (tady tomu tak není, to ale neznamená, že by se tak stát nemohlo - je potřeba to také vyšetřovat).

slav3k · 26. 11. 2011 20:02

↑ OiBobik:

díky moc, udělám tak :)

slav3k · 26. 11. 2011 23:38 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 00:04)

Ta limita AD1

nešlo by to takhle ?

$\lim_{x\to0-}\frac{10x^{2}}{\frac{1}{e^{-\frac{3}{x}}}}=\frac{0}{0}$

a použít L'hospitalovo pravidlo ??

EDIT, tak ne, jsem v koncích ... nejsem schopný tuto limitu určit ... opravdu nevím :-(( achjo. Už na to prdím, bolí mě hlava. Kdyby mi někdo chtěl ukázat jak se taková limita konkrétně řeší, byl bych velice vděčný :)

slav3k · 27. 11. 2011 00:39

Vážení :-) ,
takže zjistil jsem že vzhledem k tomu že limity v nevlastních bodech jdou k nekonečnu -> asymptoty se směrnicí nejsou a tím mi zbývá poslední zádrhel, pořád nevím jak vypočítat tu limitu k nule z leva :-((

$\lim_{x\to 0-}$

na tom visí i určení té asymptoty, abych mohl napsat že tam je (a ona tam je), potřebuju mít vypočítanou tuto limitu ...

Přiznávám se že v pondělí musím odevzdávat projekt a dělám ho za pět minut dvanáct, ale kdyby mi s tím někdo píchnul, tak mu budu nezměrně vděčný ...

jdu spát dobrou :)

OiBobik

↑ slav3k:

A tuto limitu $\lim_{x \to 0_-}2\ln{|x|}-\frac{3}{x}$ bys určit zvládl?

Příp trochu jiný, ale dost analogický přístup: něco jako substituce v limitě používáte?

slav3k · 27. 11. 2011 09:44

↑ OiBobik:

to by byl neurčitý výraz ne ?

$-\infty +\infty$

takže by se to převedlo na společný jmenovatel ??

OiBobik

↑ slav3k:

Dá se na to jít třeba tak, že si pohraje človek s tím L'Hospitalem:

$\lim_{x \to 0_-}2\ln|x|-\frac{3}{x}=\lim_{x \to 0_-}2\ln(-x)-\frac{3}{x}=\lim_{x \to 0_-}\ln(-x)$2-\frac{\frac{3}{x}}{\ln(-x)}$$

no a tady se to rozpitvá jako součin a na ten zlomek se použije L'H.
Asi se to dá řešit i nějak bez L'H, mně to teď jenom pravděpodobně nedochází.

slav3k · 27. 11. 2011 12:35

↑ OiBobik:

jo tam když se dosadí tak by to bylo :

$-\infty (2-\frac{-\infty }{-\infty }) = -\infty (2-\frac{\infty }{\infty })$

No a ted je jak říkáš možné aplikovat L'hospitala jen na ten zlomek v té závorce ? opravdu ? :-O to jsem nevěděl. Díky zo potvrzení ebo vyvrácení tohoto tvrzení

OiBobik

↑ slav3k:

Tak žejo, použije se ariutmetika limit (opakovaně) a dostaneš

$\lim_{x \to 0_-}\ln(-x)$2-\frac{\frac{3}{x}}{\ln(-x)}$=\lim_{x \to 0_-}\ln(-x) \cdot $\lim_{x \to 0_-}2-\lim_{x \to 0_-}\frac{\frac{3}{x}}{\ln(-x)}$$ , má-li onen výraz napravo smysl. No a ty dvě první limity mají evidentně smysl a poslední lze řešit L'H. No a pokud tak učiníš, zjistíš záhy, že celý výraz napravo má smysl (není tam "odčítání nekonečen" ani nic jiného nedefinovaného).
Je to jenom zkombinování věty o aritmetice (součtu, součinu, násobku) limit a L'H.

slav3k · 27. 11. 2011 16:16 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 16:35)

↑ OiBobik:

no ale tam ten l'hospital nikam nevede ne ? at to zderivujem kolikrát chceme, tak to je pořád neurčitý výraz :-(((

$\frac{\infty }{\infty }$

Ale ted me napadlo což takhle udělat z toho :

$\lim_{x\to0-}\ln (-x).(\lim_{x\to0-}2-\lim_{x\to0-}(\frac{3}{x}\frac{1}{\ln (-x)}))$

tímpádem by to bylo :

$-\infty (2-\infty )=\infty$

žééé ????? :D prosím řekni že to je ok

OiBobik · 27. 11. 2011 16:21

↑ slav3k:

$\frac{$\frac{3}{x}$'}{(\ln(-x))'}=\frac{-\frac{3}{x^2}}{\frac{1}{x}}=-\frac{3}{x}$

slav3k · 27. 11. 2011 16:40

↑ slav3k:

ne to co jsem tam napsal má chybu, už to vidím

OiBobik · 27. 11. 2011 16:44

↑ slav3k:

Ano, je tam chyba, násobíš tam nulu nekonečnem. Ten L'H je bezpečný.

slav3k · 27. 11. 2011 16:45 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 17:25)

↑ OiBobik:

děkuju ti, předtím jsem to blbě zderivoval ...

jdu si to sesumírovat a doufám že brzo tady to vlákno uzavřu :)

každopádně ti zvušuju karmu ... pomohl jsi !

PS: myslíš že by jsi mi mohl říci jaké vlastnosti (asi logaritmů ?) jsi využilo pro fintu:
$10x^{2}=10e^{\ln x^{2}}$

OiBobik · 27. 11. 2011 16:50

↑ slav3k:

Není zač.

Tady je kdyžtak návod, jak to dokončit pomocí věty o limitě složené funkce.

slav3k · 27. 11. 2011 17:00

↑ OiBobik:

počkat to nejde pak jen poslepovat že ta výsledná limita je rovna:

$-\infty (2-\infty )=-\infty (-\infty )=\infty$ :

??

OiBobik

↑ slav3k:

Ano, ale to jsme vypočítali limitu výrazu v exponentu. Teď je třeba konstatovat, že hodnoty $+\infty$ ta funkce $2 \ln|x|-\frac{3}{x}$ samozřejmě nikdy nenabývá a tudíž ona původní limita je rovna $\lim_{y \to +\infty}10e^{y}$ , viz věta v odkazu verze (P).

slav3k · 27. 11. 2011 17:33 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 17:35)

↑ OiBobik:

takže jsme vlastně dělali limitu substituce (exponentu)?
$y=2\ln |x|-\frac{3}{x}$
a potom původní limitu přepíšeme na
$\lim_{y\to\infty }10e^{y}$

(nešlo by tento krok vynechat slovním vysvětlením že exponent jde k $\infty$ , tedy celá limita je $\infty$ ??

OiBobik

↑ slav3k:

No jak se to vezme : )) "slovní vysvětlení" ve smyslu "důkaz z definice" ano. ale jen tak to říct to nelze, i když asi záleží na typu školy.

Jestli jsi zvyklý a umíš správně používat substituce (což je ale vlastně jen převlečená věta o limitě složené funkce), pak lze celou úlohu řešit i jednoduššeji:

$\lim_{x \to 0_-}10x^2e^{-\frac{3}{x}}=\bigg|y:=-\frac{1}{x}\bigg|=\lim_{y \to \infty}10 \frac{e^{3y}}{y^2}$ , což už je jasné (a pokud není, tak s L'H už určitě je)

(proto jsem se tě výše ptal, zdali jsi zvyklý alespoň na substituce, když ne na větu o limitě složené funkce jako takovou; já nevím, co studuješ, takže nevím, nakolik korektně a kterých prostředků pro počítání limit používáte)

OiBobik

slav3k napsal(a):
PS: myslíš že by jsi mi mohl říci jaké vlastnosti (asi logaritmů ?) jsi využilo pro fintu:[/color]
$10x^{2}=10e^{\ln x^{2}}$

Zde jsem využíval definice mocninné funkce pro obecnou mocninu. Ono obecně se dá $x^a$ pro $x>0$ definovat jako $e^{a\ln x}$ , přičemž zde tedy $(x^2)^1=e^{1 \ln(x^2)}$ . Nebo si to taky lze rozmyslet jednoduše z toho, že přirozený logaritmus je inverzní funkce k exponenciále.

slav3k · 27. 11. 2011 17:54 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 17:59)

↑ OiBobik:

zvyklý na to nejsem :D neučili jsme se to ještě (jsem na VUT, FEKT, první ročník), ale byl jsem za jedním učitelem a ten mi to ukázal přes substituce (bohužel jsem si postup nezapsal a pak jsem to už dohromady nedal) to co mi tu píšeš dává smyl (přijde mi to logické) a zatím nejlépe stravitelné :))

Otázka je, limita té substituované limity je rovna limitě původní ? nebo pak budu něco nějak dosazovat zpět ?

EDIT:

když jsem udělal substituci a dvakrát po sobě L'H tak to vyjde $\infty$ super, tím to končí nebo to musím nějak zpětně někam dosazovat ? :)

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2011 19:36 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 13:40)

Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#2 26. 11. 2011 19:42 — Editoval OiBobik (26. 11. 2011 19:51)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#3 26. 11. 2011 19:44 — Editoval standyk (26. 11. 2011 19:52)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#4 26. 11. 2011 19:46 — Editoval slav3k (26. 11. 2011 19:57)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#5 26. 11. 2011 19:56 — Editoval OiBobik (26. 11. 2011 19:57)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#6 26. 11. 2011 20:02

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#7 26. 11. 2011 23:38 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 00:04)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#8 27. 11. 2011 00:39

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#9 27. 11. 2011 00:41 — Editoval OiBobik (27. 11. 2011 00:42)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#10 27. 11. 2011 09:44

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#11 27. 11. 2011 10:57 — Editoval OiBobik (27. 11. 2011 11:17)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#12 27. 11. 2011 12:35

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#13 27. 11. 2011 14:42 — Editoval OiBobik (27. 11. 2011 14:51)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#14 27. 11. 2011 16:16 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 16:35)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#15 27. 11. 2011 16:21

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#16 27. 11. 2011 16:40

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#17 27. 11. 2011 16:44

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#18 27. 11. 2011 16:45 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 17:25)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#19 27. 11. 2011 16:50

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#20 27. 11. 2011 17:00

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#21 27. 11. 2011 17:22 — Editoval OiBobik (27. 11. 2011 17:28)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#22 27. 11. 2011 17:33 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 17:35)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#23 27. 11. 2011 17:42 — Editoval OiBobik (27. 11. 2011 17:45)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

#24 27. 11. 2011 17:50 — Editoval OiBobik (27. 11. 2011 17:50)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

slav3k napsal(a):

#25 27. 11. 2011 17:54 — Editoval slav3k (27. 11. 2011 17:59)

Re: Vyšetřování průběhu fce dílčí problémy

Zápatí