Matematické Fórum

Arcasil

Zdravím,

$\lim_{x\to1}(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}})$

Kde m,n jsou přirozená čísla.

Asi to není těžké, ale já na to za boha nemůžu přijít. Zkoušel jsem dostat z jmenovatele tu 0, ale bezvýsledně. Nějaký nápad?

Phate · 04. 12. 2011 19:11

Pekna limita, wolfram ji hrave vyresi a ve show steps ji oznaci asi za tak jednoduchou, ze tam radsi zadne kroky nenapise :))

K vysledku jsem se nedostal, kazdopadne kus jsem usel, ale mozna numericka chyba mozna uplne spatny smer, alespon nastinim a topic se dostane nahoru:

Prevedl jsem to na spolecny jmenovatel, $(1-x^{m})(1-x^{n})$ , citatel i jmenovatel pokratil vyrazem $(x-1)$ a v citateli nam zbyly jakesi dve sumy $x^i$ , ktere po dosazeni jedncky urcite nedavaji nulu pro obecna m a n, kdezto ve jmenovali mame soucin zavorek, neco ve stylu $(x-1)(x^{m-1}+x^m+ \dots +x +1)(x^{n-1}+x^n+ \dots +x +1)$ , kde po dosazeni jednicky dostavame nulu. Asi je to uplne spatny smer, nevim.

Snad dojde nekdo limitami ostrileny a vyresi to tu :))

Andrejka3

↑ Phate:
Je to dobrý směr.
Nejprve předpokládejme, že je $n=m$ . Výsledek je jasný.
Nechť je $n \neq m$ , pak je jasné, že při prohození těchto písmenek změní limita znaménko.
Proto počítejme případ, kdy $m>n$ .
Jak kolega naznacil. Dáme na společného jmenovatele. Dalším úkolem je upravit čitatele.
$m (x^{n-1} + \dots + 1) - n (x^{m-1} + \dots + 1)=$
$= -nx^{m-1} -nx^{m-2} - \dots -nx^n +(m-n)x^{n-1} +(m-n)x^{n-2} + \dots + m-n)$
Máme tam m-1-n+1=m-n členů násobených číslem -n. Chceme tam přidat ke každému takovému členu číslo n, aby byl tvaru (n-nx^)=n(1-x^). Celkem jsme přidali n*(m-n). Pamatujme si to.
Vpravo máme n-1 členů tvaru (m-n)x^, kde mocnina je aspon jedna. Chceme přidat číslo -(m-n) kolikrát? n-1 krát. Pak dostaneme vpravo (m-n)x^-(m-n)=(m-n)(x^ -1).
Celkem jsme pricetli cislo n*(m-n) -(n-1)(m-n)= m-n, takze ho musime odecist, abychom s tim nakonec nic neprovedli. Tim se odecte absolutni clen uuplne vpravo. Zbytek lze dodelat s trochou trpelivosti.
Pokud se nepletu, dopadne to takto:
$n(1-x^{m-1}) + n(1-x^{m-2}) + \dots + n(1-x^n) -$
$- (m-n) (1-x^{n-1}) -(m-n) (1-x^{n-2}) - \dots - (m-n)(1-x)$
Z tohoto vyrazu vytkneme 1-x....
Edit: mocniny

Phate · 04. 12. 2011 20:13 — Editoval Phate (04. 12. 2011 20:46)

Tak trochu rozdilny postup od meho kamarada:
$\lim_{x\to1}(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}})=\lim_{x\to1}\frac{m(1-x^n)-n(1-x^m)}{(1-x^{m})(1-x^n)}=\lim_{x\to1}\frac{m-mx^n-n+nx^m}{1-x^{m}-x^n+x^{m+n}}=\\=^{L'H}\lim_{x\to1}\frac{-mnx^{n-1}+nmx^{m-1}}{-mx^{m-1}-nx^{n-1}+(m+n)x^{m+n-1}}$
Za predpokladu, ze $m>n$ vytkneme $x^{n-1}$ z citatele i jmenovatele a pokratime:
$\lim_{x \to 1} \frac{-mn+mnx^{m-n}}{-mx^{m-n}-n+(m+n)x^{m}}=^{L'H}\lim_{x\to1}\frac{mn(m-n)x^{m-n-1}}{-m(m-n)x^{m-n-1}+m(m+n)x^{m-1}}=\\=\frac{n(m-n)}{-(m-n)+(m+n)}=\frac{n(m-n)}{2n}=\frac{m-n}{2}$

Arcasil

↑ Phate:

L'Hopital mě napadl snad jako první. Derivace jsem ale ještě neprobírali .-).

↑ Phate:↑ Andrejka3: Každopádně díky vám oběma za pomoc.

Andrejka3 · 04. 12. 2011 20:34

↑ Phate:
Malinko se to tam nevešlo ;)

Phate · 04. 12. 2011 20:47

↑ Andrejka3:
uz snad lepsi

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2011 16:50 — Editoval Arcasil (04. 12. 2011 16:51)

Limita funkce v bodě (s parametrem)

#2 04. 12. 2011 19:11

Re: Limita funkce v bodě (s parametrem)

#3 04. 12. 2011 19:37 — Editoval Andrejka3 (04. 12. 2011 19:48)

Re: Limita funkce v bodě (s parametrem)

#4 04. 12. 2011 20:13 — Editoval Phate (04. 12. 2011 20:46)

Re: Limita funkce v bodě (s parametrem)

#5 04. 12. 2011 20:25 — Editoval Arcasil (04. 12. 2011 20:29)

Re: Limita funkce v bodě (s parametrem)

#6 04. 12. 2011 20:34

Re: Limita funkce v bodě (s parametrem)

#7 04. 12. 2011 20:47

Re: Limita funkce v bodě (s parametrem)

Zápatí