Matematické Fórum

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:07

Mám integrál $\frac{1}{\sqrt{2-5x}}$ . Co teď s tím? Podle mě to není podle žádného vzorce, takže mě napadá, dát si odmocninu nahoru, takže bych dostala (2-5x) na -1/2, ale podle výsledku to nevychází. Mohu poprosit o první krok? Třeba mi cvakne. Děkuji

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:09

Není to třeba přes substituci?

Andrejka3 · 08. 12. 2011 13:19

$\frac{1}{\sqrt{2-5x}} = \left( 2-5x \right)^{-1/2}$ .
Jaká je derivace vnitřní funkce?

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:29

↑ Andrejka3:
derivace (2-5x) je 5...

Andrejka3

Jo, tedy jen číslo, které nebude zlobit. Jaká je primitivní funkce k $x^{-1/2}$ ?
Edit: ta derivace bude -5, ale to nic nemění na tom, že to je konstanta.

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:39

↑ Andrejka3:
$\frac{1}{2}x$ ?

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:40

Ano, -5, omlouvám se

Andrejka3 · 08. 12. 2011 13:41

Zkus zderivovat $2x^{\frac{1}{2}}$ .
Zkus zderivovat $\left( 2-5x \right)^{1/2}$ .

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:49

1) $x^{-1/2}$
2) $-5^{1/2}$ ?

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 13:50

↑ Andrejka3:
normálně mi derivace problém nedělají, ale teď na to čučím jak sůva. :(

Andrejka3

$(x^a)' = a x^{a-1}$ obvykle.
$\left( f \left(g(x)\right) \right)' = f'(g(x)) g'(x)$
Podle toho,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 14:03

↑ Andrejka3:
vůbec nechápu :(....nejsem schopna se zorientovat...ale i tak moc děkuji za snahu

Andrejka3 · 08. 12. 2011 14:03

Je-li Ti milejší substituce, dělej to substitucí. Chtěla jsem dělat v podstatě to samé, jen trochu rychleji, možná to není ono.
Až zderivuješ, co jsem navrhla, zjistíš, že to je skoro to, co jsi chtěla zintegrovat - až na násobek nějaké konstanty. Díky linearitě derivace to není problém napravit. Stačí výsledek vynásobit inverzí té konstanty.

Upozorňuji, že je třeba do výsledku napsat, v jakém intervalu je nalezená funkce pritmitivní k té původní.
Jinak, podíváš se na ten příklad a vidíš:
1) něco na minus jednu polovinu - tu vnější funkci integrovat umíš.
2) derivace vnitřní funkce je jednoduchá - můžeš nakonec přepsat ten příklad na tvar
$f \left( g(x) \right) \cdot g'(x)$ krat konstanta a okamžitě je vidět výsledek díky větě o substituci.

Andrejka3 · 08. 12. 2011 14:04

Ok, substituce vnitřní funkce. Tedy $2-5x$

Cheop · 08. 12. 2011 14:19 — Editoval Cheop (08. 12. 2011 14:33)

↑ miminko.alidgy:
Derivuješ to jako složenou funkci tj:
Vnitřní funkce je $2-5x$
Vnější funkce je $(2-5x)^{-\frac 12}$
Zderivuješ vnitřní funkci tj:
$(2-5x)^,=-5$
Zderivuješ vnější funkci tj:
$((2-5x)^{-\frac 12})^,=-\frac 12\cdot (2-5x)^{-\frac 12-1}=-\frac 12\cdot (2-5x)^{-\frac 32}$
A teď to mezi sebou vynásobíš tj:
$\left(\frac{1}{\sqrt{2-5x}}\right)^,=-5\cdot -\frac 12\cdot (2-5x)^{-\frac 32}=\frac 52\cdot (2-5x)^{-\frac 32}=\frac{5}{2(2-5x)^{\frac 32}}=\frac{5}{(4-10x)\sqrt{2-5x}}$

Kontola výsledku

miminko.alidgy

↑ Cheop:
No jo, ale já mám výsledek úplně jiný.
$-2\cdot\frac{1}{5}\sqrt{2-5x}$
je mi jasné, že je to nedopočítané, ale to zase až tak nevadí. Jde jen o menší úpravu. Já jsem počítala takto:
odmocninu jsem převedla nahoru, dostala jsem tedy
$(2-5x)^{-\frac{1}{2}}$
pak jsem zintegrovala na:
$-\frac{1}{5}\frac{(2-5x)}{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$ a následně upravila na:
$-2\cdot\frac{1}{5}\sqrt{2-5x}$ pak můžu ještě 2 a jednu pětinu vynásobit.
No ale takový výsledek je i ve výsledku. Postupovala jsem tedy správně?

Cheop · 08. 12. 2011 14:47 — Editoval Cheop (08. 12. 2011 14:56)

↑ miminko.alidgy:
No já si nepřečetl zadání a ten výraz jsem derivoval a ne integroval
Já počítal toto: $\left(\frac{1}{\sqrt{2-5x}}\right)^,$ a ono se má počítat toto: $\int\frac{1}{\sqrt{2-5x}}\, dx$

Takže počítáme :
$\int\frac{1}{\sqrt{2-5x}}\, dx$
Substituce
$2-5x=t\\-5\,dx=dt\\dx=-\frac{dt}{5}$ dostáváme:
$\int\frac{1}{\sqrt{2-5x}}\, dx=-\frac 15\int\frac{1}{\sqrt t}\,dt=-\frac 15\int t^{-\frac 12}\,dt=\\-\frac 15\cdot\frac{t^\frac 12}{\frac 12}=-\frac 25\cdot\sqrt t$
Vratka k substituci $t=2-5x$ a dostaneme:
$\int\frac{1}{\sqrt{2-5x}}\, dx=-\frac 25\sqrt{2-5x}+C$

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 14:49

↑ Cheop:
v tom případě už chápu, že jsem nechápala :D.....Ale hlavně že jsem se dopopčítala. Děkuji moc všem zúčastněným :)

Andrejka3 · 08. 12. 2011 14:49

Ano, stačí upozornit na to, jaké věty byly použity (věta o substituci), a interval, na kterém výsledek platí.
Případně, zmínit, že to bylo vidět okamžitě a že výsledek plyne z věty o derivaci složené funkce a z jednoznačnosti primitivní fce (až na aditivní konstantu).
Myslím, že pak by to uznal jakkoliv zlý kantor.

miminko.alidgy · 08. 12. 2011 14:51

↑ Andrejka3:
Zítra mám zápočet, ale jsem úplně v koncích, Takže si to dám pravděpodobně ještě jednou dokola, protože nemám šanci uspět. Bohužel jeden příklad k zápočtu nestačí :) Ale jak říkám, děkuji moc, alespoň už trochu rozumím :)

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2011 13:07

integrál s odmocninou ve jmenovateli

#2 08. 12. 2011 13:09

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#3 08. 12. 2011 13:19

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#4 08. 12. 2011 13:29

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#5 08. 12. 2011 13:31 — Editoval Andrejka3 (08. 12. 2011 13:33)

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#6 08. 12. 2011 13:39

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#7 08. 12. 2011 13:40

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#8 08. 12. 2011 13:41

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#9 08. 12. 2011 13:49

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#10 08. 12. 2011 13:50

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#11 08. 12. 2011 13:57 — Editoval Andrejka3 (08. 12. 2011 13:58)

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#12 08. 12. 2011 14:03

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#13 08. 12. 2011 14:03

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#14 08. 12. 2011 14:04

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#15 08. 12. 2011 14:19 — Editoval Cheop (08. 12. 2011 14:33)

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#16 08. 12. 2011 14:37 — Editoval miminko.alidgy (08. 12. 2011 14:38)

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#17 08. 12. 2011 14:47 — Editoval Cheop (08. 12. 2011 14:56)

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#18 08. 12. 2011 14:49

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#19 08. 12. 2011 14:49

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

#20 08. 12. 2011 14:51

Re: integrál s odmocninou ve jmenovateli

Zápatí