Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj.
Mám dotaz: existuje algebra, jejíž svaz podalgeber není modulární?
Nalezla jsem algebry takové, že svaz jejich podalgeber je distributivní.
I takové, že svaz jejich podalgeber je modulární ale není distributivní.
Nemohu najít takovou, že její svaz není modulární. Ani dokázat, že taková neexistuje (proč by neměla existovat?)
Prosím o radu.
A

Trochu teorie

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jak vypadají operace $\wedge, \vee$ v svazech podalgeber, $\textbf{Sub}(\mathbb{A})$ :
$B \wedge C = B \cap C$ tady je vidět, že hrozí problém, že vyjde prázdná množina (v případě, že algebra nemá nulární operaci - konstantu). S tím se jde smířit a nedělá to problémy.
$B \vee C = \bigcap_{\substack{D \in \mathrm{Sub}(\mathbb{A}) \\ B \cup C \subset D}}D = \langle B \cup C \rangle$ neboli nejmenší podalgebra, která obsahuje obě podalgebry $B$ a $C$ .

Andrejka3

Jako příklad algebry, jejíž svaz podalgeber je distributivní (a tedy i modulární) uvádím $(\mathbb{N},f)$ , kde $f$ je unární operace definovaná:
$f(n)= n+1$ .
Tedy nosič svazu podalgeber je $\mathrm{Sub}(\mathbb{N}) = \{\mathbb{N}_1, \mathbb{N}_2, \dots \}$ , kde $\mathbb{N}_k :=\{n \in \mathbb{N} ; \; n \geq k\}$ . Je proto tento svaz řetězcem a je distributivní.

Jako příklad algebry, jejíž nosič podalgeber je modulární, ale není distributivní uvádím vektorový prostor $\textbf{V}$ dimenze aspoň 2, ale konečné, nad tělesem $\textbf{T}$ . Nevím, jak by to dopadlo pro prostory nekonečné dimenze - možná nejsou modulární - prozatím to neumím dokázat ani vyvrátit.
Důkaz:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Co jsem zkoušela (na konci otázka, na kterou neznám odpověď):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: hotovo.

Andrejka3

Má-li algebra operace arity nejvýše 1, pak je modulární, protože $\langle M \cup N \rangle = \langle M \rangle \cup \langle N \rangle$ a svaz jejích podalgeber je izomorfní podsvazu všech podmnožin nějaké množiny a tento je dokonce distributivní. Je to díky tomu, že se operace $\vee$ zjednodušila na $\cup$ .
Jak to bude pro algebry, které mají nějakou binární operaci, ještě nevím.
A

Andrejka3

Mám podezření, že v symetrické grupě je následující podsvaz podalgeber isomorfni $N_5$ :
$\langle \tau_{1,2}, \tau_{2,3}, \tau_{3,4} \rangle$ vrchni bod
$\langle \tau_{1,2}, \tau_{3.4} \rangle$ levy horni bod
$\langle \tau_{1,2} \rangle, \; \langle \tau_{1,4}, \tau_{2,3} \rangle$ levy dolni, resp. pravy bod
$\{id\}$ spodni bod
kde $\tau_{n,m}$ je transpozice prvku $n,m$ .
Jsem trochu z toho už blbá.
Buď se to potvrdí a ukončím toto téma s tím, že obecně algebry s operacemi arity 2 nejsou modulární, nebo se to nepotvrdí a už budu odpovídat sama sobě jen v případě, že přijdu na něco nového.
A

Edit: Podezření se potvrdilo. Obecně může být svaz podalgeber algebry mající aspoň jednu binární operaci modulární, ale nemusí.

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2011 21:01 — Editoval Andrejka3 (09. 12. 2011 15:08)

Existence nemodulárních svazů podalgeber

#2 09. 12. 2011 14:44 — Editoval Andrejka3 (09. 12. 2011 15:59)

Re: Existence nemodulárních svazů podalgeber

#3 09. 12. 2011 16:40 — Editoval Andrejka3 (09. 12. 2011 16:40)

Re: Existence nemodulárních svazů podalgeber

#4 09. 12. 2011 17:31 — Editoval Andrejka3 (09. 12. 2011 19:39)

Re: Existence nemodulárních svazů podalgeber

Zápatí