Matematické Fórum

katrintn · 09. 12. 2011 18:36

Ahohjte prosim poradite mi s tymto prikladom dakujem vopred

Číslo 4 môže byť vyjadrené ako súčet jedného alebo viacerých kladných celých číslrl, berúc do úvahy 8 spôsobov, ako poradie:
4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1. Všeobecné vzhľadom n ∈ N, vyjadrené ako mnoho spôsobov, ako môžete n?

standyk

↑ katrintn:

Trošku nezrozumiteľné zadanie:

katrintn napsal(a):
Všeobecné vzhľadom n ∈ N, vyjadrené ako mnoho spôsobov, ako môžete n?

Tým myslíš otázku: Ako sa dá všeobecne vyjadriť počet spôsobov vzhľadom na n?

katrintn · 09. 12. 2011 19:01

↑ standyk:

Ano

standyk

↑ katrintn:

Treba to rozdeliť na niekoľko častí: konkrétne na n:
1.) ...........: $x_1=n$ .................... počet spôsobov ako možeme vyrieiť túto rovnicu: je iba jeden spôsob a to že $x_1=n$
2.) ...........: $x_1+x_2=n$ .............. počet spôsobov bude podľa vzorca ktorý máš určite v poznámkach alebo skriptách: $H_r^n={n+2-1 \choose 1}$
Tu ale nastáva problém, pretože toto je vzorec na nezáporné riešenia rovnice. My ale potrebujeme kladné riešenie. Preto použijeme substitúciu: $y_1+y_2=n-2$ - tým sme dosiahli to že za $y_1, y_2$ sú už akokeby rezervovaná minimálne jednotka čiže celkové riešenie bude už určite kladné. Správny vzorec na výpočet kladných koreňov tejto rovnice bude teda: $\color{blue}H_r^n = {(n-2)+2-1 \choose 1}= {n-1 \choose 1}\color{black}$
3.) ............... Postupovať budeš podobne ako v prvých dvoch prípadoch: $x_1+x_2+x_3=n$
Zavedieš substitúciu a dostávaš $y_1+y_2+y_3=n-3$ ..... $\color{blue}H_r^n={(n-3) +3-1 \choose 3-1}={n-1 \choose 2} \color{black}$
Posldný spôsob bude: $x_1+x_2+ \cdots x_n=n$ KeĎ urobíš tie kroky čo vyššie dostaneš: $\color{blue} {n-1 \choose n-1} \color{black}$

Ešte je vhodné v tom úuplne prvom kroku ten jeden spôsob si prepísať ako $1 = \color{blue}{n-1 \choose 0}\color{black}$

Teraz už len zostáva sčítať tieto disjunktné prípady:
$\sum\limits_{r=0}^{n-1}{n-1 \choose r}= 2^{n-1}$

katrintn · 09. 12. 2011 19:40

Nechapem tomu

standyk · 09. 12. 2011 19:51

↑ katrintn:

čomu konkrétne?

Treba to rozdeliť na n krokov, pretože ten súčet može byť vyjadrený buď ako jedno číslo (4) alebo ako súčet 2 čísel (1+3 , 3+1) alebo ako súčet 3 čísel (1+1+2 , 1+2+1 , 2+1+1) alebo ako súčet 4 čísel (1+1+1+1) a pre každý prípad ratáš osobitne počet možností,

katrintn · 09. 12. 2011 20:14

↑ standyk:

Uz to mam pochopila som to dakujem

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2011 18:36

diskretna !

#2 09. 12. 2011 18:58 — Editoval standyk (09. 12. 2011 18:58)

Re: diskretna !

katrintn napsal(a):

#3 09. 12. 2011 19:01

Re: diskretna !

#4 09. 12. 2011 19:26 — Editoval standyk (09. 12. 2011 20:12)

Re: diskretna !

#5 09. 12. 2011 19:40

Re: diskretna !

#6 09. 12. 2011 19:51

Re: diskretna !

#7 09. 12. 2011 20:14

Re: diskretna !

Zápatí