Matematické Fórum

blb · 09. 12. 2011 20:53 — Editoval blb (09. 12. 2011 20:54)

Dobrý den,
mám dva okruhy, Z[i] a Z_17, mezi nimi homomorfismus
$\phi: Z[i] \to Z_{17}$ ,
který posílá $a + ib \mapsto [a + 4b]_{17}$ .
Písmenem i označuju imaginární jednotku, mám ukázat, že jádro $\phi$ je hlavní ideál (1+4i).
Já jsem ukázal, že ten ideál je podmnožinou jádra, teď nevím, jak na tu druhou část, že v jádru není nic navíc. Prosím o pomoc :-)

OiBobik · 09. 12. 2011 21:25

↑ blb:

Ahoj, co je $Z[i]$ ? komplexní čísla s celočíselnou reálnou i imaginární částí?

blb · 09. 12. 2011 21:29

↑ OiBobik:
Zdravím, přesně tak, okruh Z[i] je množina {a + b*i | a,b náleží Z}.

OiBobik

↑ blb:

No, tak tu druhou implikaci taky nebude těžké dokázat:

Taktika: zvolíme libovolné číslo $a+bi$ ze $Z[i]$ , které posílá zobrazení $\phi$ na $0$ , neboli libovolný prvek z jádra. To je ekvivalentní tomu, že $a+4b \equiv 0 \mod 17$ .
No a teď půjde o to, ukázat, že pak nutně existuje komplexní číslo $x+yi, \,\,\, x,y \in \mathrm{Z},$ takové, že $(x+yi)(1+4i)=a+bi$ , neboli, že $a+bi \in \langle 1+4i \rangle$ .

Nápověda: v průběhu se bude hodit ukázat, že $(a+4b \equiv 0 \mod 17) \Rightarrow (4a-b \equiv 0 \mod 17)$

blb · 09. 12. 2011 22:38

(x+yi)(1+4i) = x-4y + (y + 4x)i.
Tedy a = x-4y, b = y + 4x.
Vyjádřím y: y = b - 4x;
dosadím do druhé rovnice: x - 4(b-4x) = a; upravím: 17x = a + 4b. Protože a + 4b == 0 mod 17, mohu vydělit. Takže mám x, neznámou y získám z druhé rovnice. Je to takhle OK? Moc děkuju za pomoc :)

OiBobik

↑ blb:

Jo, to je ono. Já tam potřeboval tu druhou rovnost modulo vlastně jen proto, že jsem začal vyjadřovat y a ne x, takhle je to jednodušeji formulované.

blb · 09. 12. 2011 22:50

Moc díky, tak už tomu rozumím. Označím to tu jako vyřešené :)

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2011 20:53 — Editoval blb (09. 12. 2011 20:54)

Jádro a ideál v okruhu

#2 09. 12. 2011 21:25

Re: Jádro a ideál v okruhu

#3 09. 12. 2011 21:29

Re: Jádro a ideál v okruhu

#4 09. 12. 2011 21:56 — Editoval OiBobik (09. 12. 2011 22:58)

Re: Jádro a ideál v okruhu

#5 09. 12. 2011 22:38

Re: Jádro a ideál v okruhu

#6 09. 12. 2011 22:45 — Editoval OiBobik (09. 12. 2011 22:48)

Re: Jádro a ideál v okruhu

#7 09. 12. 2011 22:50

Re: Jádro a ideál v okruhu

Zápatí