Matematické Fórum

↑ katrintn:

Ak správne chápem, tak počet núl v prvých n čísliciach je rovný počtu jednotiek v posledných n čísliciach.
Takto nejak to môže vyzerať._ _ _ _ | _ _ _ _ . Na každej pozícii z prvých n miest môže byť buď 0 alebo 1. to znamená že máme možností. Použijeme identitu:

Pre každe kombinačé číslo z tých prvých n číslic ale prislúcha rovnaký počet jednotkových sekvencií v posledných n čísliciach. Je to z dôvodu že používame len číslice 0 a 1 a platí identita
Čiže pre núl v prvých n čísliciach bude núl v posledných n čísliach. Pre každé kombinačné číslo z tej sumy, ktorú som písal vyššie ale prislúcha rovnaké kombinačné číslo, ktoré hovorí o posledných n čísliciach. Preto, môžeme každé to kombinačné číslo umocniť a všetko sčítať. Dostávame teda:

Použijeme kombinatorickú identitu a dostávame:

↑ standyk:

Pokud je ono zadání opravdu myšleno tak, jak ho ty chápeš (což souhlasím, že je asi nejpřirozenější výklad), pak lze k výsledku dojít mnohem přímočařeji:

Nechť je v jedné takové uvažované poslouposti celkem k nul mezi prvními n členy. Jelikož uvažujeme posloupnost pouze jedniček a nul, pak je mezi prvními n členy (n-k) jedniček. Podmínka ze zadání nám dává, že v druhé polovině posloupnosti, tj. mezi dalšími n členy, je k jedniček, tedy (n-k) nul. Celkem je tedy v posloupnosti n nul a n jedniček a snadno se rozmyslí, že ať už n jedniček a n nul rozmístíme jakkoli, vždy bude podmínka ze zadání úlohy splněna. Tedy stačí určit počet způsobů rozmístění n nul do posloupnosti 2n čísel (zbylé pozice budou příslušet číslu 1), což je právě .