Matematické Fórum

Michaell0071 · 12. 12. 2011 18:23

↑↑ standyk:Tak jsem do druhé derivace dosadil z intervalu $\{-\infty;-2 \}$ za x $-4$ a výsledk mi vyšel $\frac{27e^{-4}}{64}$ což je záporné a je zde funkce konkávní. V intervalu od $\{-2;0\}$ jsem dosadil za x $-1$ a výsledek mi vyšel: $\frac{3e^{-1}}{-1}$ což je také záporné a funkce je zde též konkávní. A v intervalu od $\{0;\infty \}$ jsem dosadil za x $1$ a výsledk mi vyšel: $\frac{11e}{27}$ což je kladné a funkce je zde konvexní.
Je to tedy správně??
Děkuji, děkuji. :-)

Michaell0071

Ahoj prosím tedy o celkovou kontrolu:
1) Definiční obor $D(f)=R-\{-2;0\}$

2) Funkce není ani sudá ani lichá

3) Monotonost funkce:
$(-\infty ;-2)$ rostoucí
$(-2;-\sqrt{2})$ rostoucí
$-\sqrt{2}$ maximum
$(-\sqrt{2};0)$ klesající
$(0;\sqrt{2})$ klesající
$\sqrt{2}$ minimum
$(\sqrt{2};\infty )$ rostoucí

4) Konvexnost a konkávnost
$(-\infty ;-2)$ konkávní
$(-2;0)$ konkávní
$(0;\infty )$ konvexní

5) Asymptoty
$k=\lim_{x\to\infty }\frac{e^{x}}{x(x^{2}+2x)}=+\infty$ => Funkce nemá asymptotu se směrnicí
$\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=+\infty$ => Asymptota bez směrnice
$\lim_{x\to-2^{+}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=-\infty$ => Asymptota bez směrnice

6) Extrémy
$\lim_{x\to+\infty }\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=+\infty$
$\lim_{x\to-\infty }\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=+\infty$
$\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=+\infty$
$\lim_{x\to0^{-}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=-\infty$
$\lim_{x\to-2^{+}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=-\infty$
$\lim_{x\to-2^{-}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=+\infty$

7) Průsečíky
pro $x=0$ $y=\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=\frac{1}{0}=0$
pro $y=0$ $=\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=0$
Průsečíky jsou tedy: $[0,0]$ a $[-2,0]$

Děkuji za VŠE.

standyk

↑ Michaell0071:

Pri hľadaní konvexnosi a konkávnosti si dosadil z intervalu $(-\infty,-2)$ číslo $-4$ a vyšlo Ti $\frac{27e^{-4}}{64}$ . Ale to je kladné. Preto je na tomto intervale funkcia konvexná.

Veľmi som nepochopil čo si robil v tej 6. časti. Aké extrémy si počítal? Extrémy si počítal už pri prvej derivácii (vyšlo tam $\sqrt{2} , -\sqrt{2}$ - bolo by tam vhodné vypočítať ešte funkčné hodnoty v tých bodoch v ktorých sú tie extrémy.)

tá 7. časť - priesečníky. $0$ tam dosadiť nemôžeš, lebo ani nepatrí do D(f). $\frac10$ je nedefinované, lebo v menovateli nemôže byť nula. Rovnako si musíš opraviť aj ten priesečník s osou y.
Rovnica:
$=\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=0$ nemá riešenie, pretože by muselo platiť: $e^x=0$ Avšak $e^x$ je vždy kaldné.
Znamená to, že funkcia nemá priesečníky ani s osou x ani s osou y.

Michaell0071

↑ standyk:To jsem spletl s tím zlomkem $\frac{27e^{-4}}{64}$ Díky za upozornění.
Když se mrknu na ten graf co jsi mi sem dával tak funkce protíná osu X v bodě $-2$ a ještě funkce prochází počátkem což je $[0;0]$ nebo ne? Jakto že nemá teda průsečíky?
Ten 6. bod jsem dělal podle příkladu co jsem počítal ve škole a zde se počítala limita $\lim_{x\to\pm \infty }$ a ještě se počítala limita bodu který nepatří do D(f) co jsou u mně dva body: $\lim_{x\to0^{-}}$
$\lim_{x\to0^{+}}$ $\lim_{x\to(-2)^{-}}$ a $\lim_{x\to(-2)^{+}}$
Bouhužel jsem si u toho příkladu zapoměl napsat nadpis a nevím co jsem to tam vlastně počítal.

Mockrát děkuji.

standyk

↑ Michaell0071:

Tie limity čo si počítal, to si vlastne zisťoval asymptoty so smernicou a bez smernice. Tá limita $\lim_{x\to\pm \infty }$ - pomocou nej počítaš asymptoty so smernicou (zistili sme, že takú nemá) a tie ostatné limity: ( $\lim_{x\to(-2)^{+}}$ , $\lim_{x\to0^{-}}$ ) sú asymptoty bez smernice - zvislé)

Ten graf je na tom prvom obrázku trochu skreslený. Jednotlivé ramená sa len blížia k osiam, ale nikdy ich nepretnú.
Pozri tu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Michaell0071

↑ standyk: Takže funkce neprotíná osu X y Z v žádném bodě?

standyk · 13. 12. 2011 11:14

↑ Michaell0071:

Nie nepretína, lebo ako som už písal, inak by muselo pre nejaké x platiť, že čitateľ (čiže $e^x$ ) je rovný nule - ale to neplatí pre žiadne x.
Naopak, nemôžem do funkcie dosádzať číslo $x=0$ lebo nula nepatrí do D(f).

Čiže funkcia skutočne nepretína ani os X ani os Y.

Michaell0071

↑ standyk: $\lim_{x\to0^{-}}$
$\lim_{x\to0^{+}}$ $\lim_{x\to(-2)^{-}}$ a $\lim_{x\to(-2)^{+}}$ všechy tyhle limity jsou bez směrnice? nebo jenom ty dvě co jsi psal??
A pro výpočet asymptoty se směrnicí (kterou teda funkce nemá) se využívá jen tato limita že ano? $\lim_{x\to\pm \infty }$

standyk · 13. 12. 2011 11:23

↑ Michaell0071:

Vyšetrujeme okolie bodu, ktoré nepatrí do D(f). Čiže: 0 a -2. Stačí nájsť jednu jednostrannú limitu. Ak je výsledkom $\infty$ tak v tom bode bude zvislá asmptota. Čiže stačí hľadať buď: $\lim_{x\to(-2)^{-}}$ alebo $\lim_{x\to(-2)^{+}}$ . Stačí vypočítať jednu. Ak tá bude $\infty$ druhú počítať nemusíš. Ak ste ale v škole riešili tak, že ste počítali obe tak sa toho drž - nič tým nepokazíš.

Michaell0071 · 13. 12. 2011 11:55

↑ standyk: Když mám u sedmého bodu napsat zda má funkce průsečíky stačí napsat že daná funkce průsečík s osami nemá. Nebo jak bych to tam mohl napsat matematicky? Díky MOC

standyk · 13. 12. 2011 14:07

↑ Michaell0071:

Myslím, že to stačí aj takto slovne. Možno môžeš napísať dôvod, kt. som písal ↑ vyššie:.

Michaell0071 · 15. 12. 2011 12:39

↑ standyk:Ahoj Chtěl bych VELMI poděkovat Styndyk-ovi Celý průběh funkce byl bez chyby. Ještě jednou DĚKUJI mnohokrát a přeji příjemné přožití Vánočních svátků.

Matematické Fórum

#26 12. 12. 2011 18:23

Re: Průběh funkce

#27 12. 12. 2011 23:35 — Editoval Michaell0071 (12. 12. 2011 23:36)

Re: Průběh funkce

#28 13. 12. 2011 09:17 — Editoval standyk (13. 12. 2011 09:18)

Re: Průběh funkce

#29 13. 12. 2011 09:53 — Editoval Michaell0071 (13. 12. 2011 09:54)

Re: Průběh funkce

#30 13. 12. 2011 11:06 — Editoval standyk (13. 12. 2011 11:07)

Re: Průběh funkce

#31 13. 12. 2011 11:10 — Editoval Michaell0071 (13. 12. 2011 11:12)

Re: Průběh funkce

#32 13. 12. 2011 11:14

Re: Průběh funkce

#33 13. 12. 2011 11:16 — Editoval Michaell0071 (13. 12. 2011 11:23)

Re: Průběh funkce

#34 13. 12. 2011 11:23

Re: Průběh funkce

#35 13. 12. 2011 11:55

Re: Průběh funkce

#36 13. 12. 2011 14:07

Re: Průběh funkce

#37 15. 12. 2011 12:39

Re: Průběh funkce

Zápatí