Matematické Fórum

Luccy · 14. 12. 2011 16:13

Dobrý den.
Potřebovala bych poradit s sčítáním a odčítáním vektorů a to v těchto úlohách:

1. Sestrojte libovolný trojúhelník ABC a jeho težiště T. Sestrojte součet vektorů (A-T)+(B-T)+(C-T).

Vím, že má vyjít nulový vektor. Mám to nakresledné..teda alespoň ten trojúhelník a těžiště. Máme to zdůvodnit, proč výjde nulový vektor pravděpodobně obrázkem. Ale nevím jak ho nakreslit.

To samé v příkladě 2:

Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Určete součet vektorů (C-A)+(D-B)+(E-C)+(F-D)+(A-E)+(B-F).

Opět máme zdůvodnit.

Tak jestli by tu byl někdo tak ochotný udělat obrázek a vysvětlit mi, jak ten obrázek mám udělat. Děkuju moc :)

Rumburak

↑ Luccy:
Ahoj, nechce se mi věřit, že se to má dokazovat obrázkem .

V té druhé úloze bych postupoval takto:

Do vzorce u = (C-A)+(D-B)+(E-C)+(F-D)+(A-E)+(B-F) bych dosadil C-A = (C-E) + (E-A) , tím dostaneme

u = [(C-E) + (E-A)]+(D-B)+(E-C)+(F-D)+(A-E)+(B-F) = (C-E) + (E-A)+(D-B)+(E-C)+(F-D)+ (A-E)+(B-F) =
= (D-B)+(F-D)+(B-F) = ... vektory zobrazené stejnou nebílou barvou jsou navzájem opačné .

(ani nebylo důležité, že jde o vrcholy pravidelného šestiúhelníka) .

Ta první úloha je obtížnější - bude potřeba využít, co víme o těžišti, jinak na stejném principu.

Luccy · 14. 12. 2011 17:16

↑ Rumburak:

No dobře, ale tak u té první úlohy je napsané SESTROJTE SOUČET. Aji ten učitel nám říkal, že to máme sestrojit..

A u toho druhého příkladu jsem moc nepochopila, jak mi muže vzniknout nulový vektor, když tam je ještě (D-B)+(F-D)+(B-F). Děkuji za odpověď

Rumburak

↑ Luccy:

Vyjděme z věty $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$ , která je, myslím, zcela v souladu s geometrickou interpretací součtu vktorů.

Přepišme ji do tvaru (Y-X) + (Z-Y) = (Z-X) neboli (Y-X) + (Z-Y) - (Z-X) = 0 , tj. rovněž (Z-Y) + (Y-X) + (X-Z) = 0 .

Aplikováno na body B, D, F máme (D-B)+(B-F)+(F-D) = 0 .

barca33 · 14. 09. 2012 19:49

↑ Rumburak:
Dobrý den řeším ted zrovna stejný problém. Podle vašeho vysvětlení bych příkld snadno pochopila jen mi není jasné C-A = (C-E) + (E-A) mohl byste mi to ještě nějak dovysvětlit. Nákres by to možná pomohl mám docela špatnou představivost. Děkuji za ochotu a pomoc

barca33 · 14. 09. 2012 20:22

↑ barca33:↑ barca33:
moc se omlouvám , ale nedalo mi to a zamyslela sem se nad příkladem více je možné řílad spočítat i takto ? : (D-F)+ (D-B)+ (F-B)+(F-D)+(B-D)+(B-F) = (F-B)+(B-F)=o JDE TO itakto spočítat děkuji za odpověď

nejsem_tonda

↑ Luccy:

Ahoj,
ja bych to klidne dokazoval obrazkem.

1) Vektory muzeme libovolne posouvat. Chceme je tedy poposouvat tak, aby slo videt, ze sectou na nulovy vektor. Musime pritom nejak pouzit to, ze T je teziste. Nejznamejsi vlastnost je, ze teziste deli kazdou teznici v pomeru 2:1. Abychom toho vyuzili, zobrazime trojuhelnik stredove podle bodu F - stredu strany AB. T se zobrazi na T' a C na C'. Takova konstrukce nam perfektne umozni vektory presouvat.
Pak je $\overrightarrow{TC}=\overrightarrow{T'T}$ prave diky vlastnosti, ze teziste T deli teznici CF v pomeru 2:1 (a tedy take T' deli C'F v pomeru 2:1, takze $|TC|=|T'T|$ ). Jednodussi je rovnost $\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{BT'}$ , protoze tam nevyuzivame zadnou vlastnost, jen presouvame. Nakonec vidime, ze tucne vektory se sectou na nulu.

2) Vektory rozdelime na dve skupiny - zelene a modre. Modre se sectou na nulu a zelene se rovnez sectou na nulu. Sestiuhelnik muze byt libovolny.

Rumburak

↑ barca33:
Zdravím.

I když kolega ↑ nejsem_tonda: už vysvětlil věc velmi názorně, přidám ještě "analytické" vysvětlení.

Vektorový vztah

(1) $\vec{w} := (D-F) + (D-B) + (F-B) + (F-D) + (B-D) + (B-F)$

je de facto pouze jakýmsi sjednocujícím vyjádřením vztahů mezi souřadnicemi bodů $B, D, F$ a vektoru $\vec{w}$ a je tedy zkráceným zápisem
soustavy

(2) $w_k :=(d_k-f_k)+ (d_k-b_k)+ (f_k-b_k)+(f_k-d_k)+(b_k-d_k)+(b_k-f_k) , k = 1, 2, ..., n$ ,

kde $n$ je dimense prostoru, v němž pracujeme (pro n=2 máme rovinu, pro n = 3 klasický "prostor", v němž existujeme), $w_k$ je $k$ -tá
souřadnice vektoru $\vec{w}$ atd. Každá z rovnic (2) je tedy už rovnicí, v níž vystupují pouze reélná čísla a základní oparace s nimi, takže
odstraněním závorek a použitím komutativního zákona snadno spočteme, že pro libovolné přípustné $k$ je

$w_k =d_k-f_k + d_k-b_k + f_k-b_k + f_k-d_k + b_k-d_k +b_k-f_k = \\ = 2d_k - 2d_k - 2f_k + 2f_k - 2b_k + 2b_k = 0$ ,

takže $\vec{w} =\vec{0}$ .

Rychleji můžeme počítat i takto:

$\vec{w} := [(D-F) + (F-D)] + [(D-B) + (B-D)] + [(F-B) + (B-F)]$

(použit komutativní a asociativní zákon pro součet vektorů) , každá z lomených závorek je rovna $\vec{0}$ (součet dvou opačných vektorů).