Matematické Fórum

NoR · 20. 12. 2011 13:56

Zdravím všechny, prosím o radu s tímto příkladem.
Necht $z= -2\sqrt{3}+2i$ pomocí moivrovy věty vypočtěte $z^{7}$ a $\sqrt[7]{z}$

zjistil jsem že:
$|z|=4$
$\varphi =\frac{5\prod_{}^{}}{6}$
takže jsem v 1. části přikladu dosadil do vzorce pro spočítání n-té mocniny a vyšlo mi:
$z^{7}=4^{7}(cos(\frac{7*5\prod_{}^{}}{6})+i sin(\frac{7*5\prod_{}^{}}{6}))$

tady jsem bohužel zaseknutý a nevím jak postupovat dál, respektive jak zjistit hodnoty sin a cos

v 2.části příkladu jsem použil vzorec pro n-tou odmocninu a vypadá to tedy takto :
$\sqrt[7]{4}(cos(\frac{\frac{5\prod_{}^{}{}^{}}{6}+2k\prod_{}^{}}{7})+isin(\frac{\frac{5\prod_{}^{}{}^{}}{6}+2k\prod_{}^{}}{7})$
jestli se nemýlím,za k bych měl dosazovat hodnotu 0-6, dejme tomu že bych dosadil 0 tak mi zůstane
$\sqrt[7]{4}(cos(\frac{\frac{5\prod_{}^{}{}^{}}{6}{}^{}}{7})+isin(\frac{\frac{5\prod_{}^{}{}^{}}{6}{}^{}}{7})$
a tady už nevím, jak z toho dostat úhledný výsledek ve tvaru a+b i

Kdyby byl někdo tak hodný a osvětlil mi jak postupovat, byl bych moc vděčný.

Sulfan · 20. 12. 2011 14:35 — Editoval Sulfan (20. 12. 2011 14:38)

Zdravím,
určitě víš, že funkce sin a cos jsou periodické s periodou $2\pi$ , tudíž pro funkční hodnoty bude platit :
$z^{7}=4^{7}(cos(\frac{7*5\pi}{6})+i sin(\frac{7*5\pi}{6}))=4^{7}\cdot \left ( cos\left ( \frac{35\pi}{6} \right )+i\sin \left ( \frac{35\pi}{6} \right ) \right )=$
$= 4^{7}\cdot \left ( cos\left ( \frac{11\pi}{6}+2\cdot 2\pi \right )+i\sin \left ( \frac{11\pi}{6}+2\cdot 2\pi \right ) \right )=4^{7}\cdot \left ( cos \left ( \frac{11\pi}{6} \right ) +i\sin \left ( \frac{11\pi}{6}\right ) \right )$ , a nyní jde už o známé hodnoty, tedy
$4^{7}\cdot \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{1}{2}i\right )$

U druhého výrazu (ani u příkladu 1 ani 2 jsem nekontroloval, jestli jsou dopočítané správně v goniometrickém tvaru) se hodnota sin ani cos nedá vyjádřit pomocí nějaké známé hodnoty nebo zlomku.

Edit: V texu doporučuji psát Ludolfovo číslo jako "\pi" místo značka produktu.

NoR · 20. 12. 2011 16:18

To s tou periodou mě nějak netrklo, děkuju a jak si můžu ověřit jestli jsem ty hodnoty dopočítal správně?očítal jsem takto:
$|z|=\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$
$|z|=4$

$\sin \varphi =\frac{2}{4}$
$\sin \varphi =\frac{1}{2}$

$\cos \varphi =\frac{-2\sqrt{3}}{4}$
$\cos \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$
v tabulkách jsem potom našel, že těmto dvou hodnotám odpovídá 150° což je právě těch $\frac{5\pi }{6}$

A postup s tím dosazováním za k 0-6 je u druhého příkladu správný?

jelena · 26. 12. 2011 00:36

↑ NoR:

Zdravím, nalezeno při úklidu (nevím, zda ještě aktuální).

Hodnota úhlu (150 stupňů) je nalezena dobře, dosazování k=0 až 6 pro 7. odmocninu - také v pořádku. Podrobně materiál.

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2011 13:56

Moivreova věta

#2 20. 12. 2011 14:35 — Editoval Sulfan (20. 12. 2011 14:38)

Re: Moivreova věta

#3 20. 12. 2011 16:18

Re: Moivreova věta

#4 26. 12. 2011 00:36

Re: Moivreova věta

Zápatí