Matematické Fórum

Příklad je ale pěkně hnusný chyták :-). Také mi chvíli trvalo, než mi to došlo. Průšvih je ten, že zvolená funkce musí mít parciální derivace všude uvnitř oblasti, kde integrujeme. Tedy i v bodě 0. Tam však derivaci neexistují. Můžeme odtud vybruslit malým trikem a to říct, že jistě platí, že integrál je též roven



Využil jsem toho, že x^2 + y^2 se podél křivky zachovává (odpovídá poloměru kruhu na druhou), takže tuto část mohu vytknout před integrál jako konstantu. Navíc vím, že poloměr kruhu R = 1 a to je také důvod, proč jsem si mohl dovolit poslední "=". Tím jsem příklad převedl na jiný integrál, jehož derivace uvnitř kruhu v pohodě existují.

Pozn.: Greenova věta funguje spolehlivě, ale pozor na určité singulární oblasti. "byvočko" se na příklad dá nahlížet tak, že u prvního integrálu je potřeba přes kruh integrovat funkci, která je sice takřka všude nulová, ale ve středu je nějaká divergující neplecha, která nám po přeintegrvání přes nekonečně malé okolí kolem 0 vrátí nějaké konečné číslo. Mohli bychom na to jít přes distribuce a uvnitř by se nám ukázala diracova delta distribuce. Můžeme jít na to takto složitě - což je jistě ten nejobecnjnějčí postup. Tyto případy (kdy nám nestačí funkce, ale musíme si pomáhat distribucemi) však nemusíme řešit pokud si umíme pomoci nějakým trikem.