Matematické Fórum

JakubR · 30. 12. 2011 16:47

Dobrý den,
při přípravě na zkoušku ze statistiky mne trápí tento příklad:

Ze 40 hodnot xi = 1,2, ….., 40, byl vypočítán aritmetický průměr 7,5 a rozptyl sx na druhou = 2,25. Při kontrole bylo zjištěno, že chybí dvě jednotky s hodnotami x41=3,8 a x42=7.

Jak je zřejmé nejsem rozený matematik a bohužel se nemohu nijak dopracovat ani ke správnému řešení. Samozřejmě jsem zkoušel různé úpravy vzorce rozptylu, ale bez úspěchu.

Pokud by byl někdo tak hodný a poradil mi postup nebo mne alespoň nakopnul správným směrem byl bych mu vděčný.

Děkuji Jakub

jelena · 30. 12. 2011 23:31

Zdravím,

něco podobného jsme počítali zde, snad pomůže.

Ve Tvém případě "chybný aritmetický průměr" vynásobím 38, přičtu chybějící jednotky a výsledek podělím 40. Rozptyl - obdobně, jako v odkazu (jen překontroluj si vzorec, který používate - zda výběrový).

JakubR napsal(a):
Jak je zřejmé nejsem rozený matematik

pobavilo :-) z čeho je to zřejmé?

Napiš sem, prosím, své pokusy úprav vzorců. Děkuji.

JakubR · 31. 12. 2011 07:46 — Editoval JakubR (31. 12. 2011 08:04)

Zdravím, děkuji za radu, chtěl jsem se zeptat proč násobím špatný průměr 38 a né 40. 2 prvky neměním ale přidávám.

vzorec používáme sx na 2= [suma(xi - prům.x) na 2] / n

Příklad se mi zdá jako jednoduchý, ale bohužel si s ním nevím rady... z toho je to alespoň pro mne zřejmé :).

stary prum. x= 7,5 s 40prvky
novy prum. x = 7,4 s 42prvky

2,25 = [(3,8-7,5)na2 + (7-7,5)na2 + Y] / 42

s novym prum.x

Sx na 2 = [(3,8-7,4)na2 + (7-7,4)na2 + Y] / 42

Sx na 2 = 2,23

Vysledek ve skriptech je sx na 2 = 2,4649

P.S. příklad není zadán s rozptyly ale směrodatnými odchylkami. Kdy první je 1,5 (tj. rozptyl 2,25) a výsledná 1,57 (tj. rozptyl 2,4649 ... už při otázce sem ale odchylku převedl na rozptyl. Nemělo by to ničemu vadit?

Jakub

jelena · 31. 12. 2011 16:12

↑ JakubR:

Omlouvám se, špatně jsem rozluštila indexy v zadání - pochopila jsem, že z 40 celkem nebylo 2 výsledky zadáno. Máš pravdu - vynásobit 40, přidat chybějící výsledky a podělit 42.

Ohledně - rozptylu, opět omluva - musím ještě něco udělat v reálu, potom se podívám na Tvé vzorce (celkem nerozluštitelné - máme Editor LaTeXu napravo od zprávy). Věřím, že se mi podaří rozluštit ještě tento rok. Měj se.

jelena · 31. 12. 2011 17:35

Bohužel, ve Tvém zápisu se nevyznám a už bych teď neměla čas, tak jsem provedla - za použití copy/paste odsud

$\sigma = \sqrt{ \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i^2 \right) - \overline{x}^2 }$

staré $\sigma_{stare} = \sqrt{ \left( \frac{1}{40} \sum_{i=1}^{40} x_i^2 \right) - \overline{x}_{stare}^2 }$ odsud vyjádříme sumu čtverců pro 40 výsledků:

$40(\sigma^2_{stare} +\overline{x}_{stare}^2)= \sum_{i=1}^{40} x_i^2$ (1)

nové $\sigma_{novy} = \sqrt{ \left( \frac{1}{42} \sum_{i=1}^{42} x_i^2 \right) - \overline{x}_{novy}^2}$

dosadíme (1) :
$\sigma_{novy} = \sqrt{ \frac{1}{42}\left(\sum_{i=1}^{40} x_i^2 +x_{41}^2+x_{42}^2\right) - \overline{x}_{novy}^2}$ a nahradíme sumu čtverců pro 40 výsledku:

$\sigma_{novy} = \sqrt{ \frac{1}{42}\left(40(\sigma^2_{stare} +\overline{x}_{stare}^2) +x_{41}^2+x_{42}^2\right) - \overline{x}_{novy}^2}$

Zkus to, prosím, použit. Zdar přeji.