Matematické Fórum

oglop · 02. 01. 2012 19:49 — Editoval oglop (02. 01. 2012 23:00)

Téma pro "Spektrální rozklady" (LA pro IT VŠB)

Ahojte, už tento příklad počítám 3 dny a pořád nic. výsledky mi vychází i podle wolframu,
četl jsem už kde co a dopracoval jsem se akorat sem.

muj postup byl:
vypočítat lamda,
potom vlastni vektory q
ortogonalizovat(už byly),
a pak ortonormalizovat (tohle mi bylo napovězeno před 2ma hodinami)
a nakonec až zapsat do řádku

nakonec Qt*D*Q = A -tohle mi nevychazi .. kde delam chybu? dekuji

Wolframalpha

$\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1 \\ 0 & 13 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)$
$det (A-\lambda I)=0$ .
$\left| \begin{array}{ccc} -2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 13-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & -2-\lambda \end{array}\right|=0$
$(-2-\lambda)\cdot \left| \begin {array}{cc} 13-\lambda & 0\\ 0 & -2-\lambda \end{array}\right| - 0 + 1 \cdot \left| \begin {array}{cc} 0 & 13-\lambda \\ 1 & 0 \end{array}\right| =0 (-2-\lambda)\cdot 13-\lambda \cdot (-2-\lambda) - 0 - (13-\lambda) = 0 \linebreak (13-\lambda) \cdot [(-2-\lambda)^2 -1] = 0 \lambda = \left( \begin{array}{c} 13 \\ -1 \\ -3 \end{array}\right)$
$\text{Výpočet vlastních vektorů} \vec{q_1},\vec{q_2},\vec{q_3}$
$\left| \begin{array}{ccc} -2-13 & 0 & 1 \\ 0 & 13-13 & 0 \\ 1 & 0 & -2-13 \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc} -15 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -15 \end{array}\right| \Rightarrow q_1 = \left( \begin{array}{c} 1/15 \\ t \\ 1 \end{array}\right) = t\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
$\left| \begin{array}{ccc} -2+1 & 0 & 1 \\ 0 & 13+1 & 0 \\ 1 & 0 & -2+1 \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right| \Rightarrow q_2 = t\cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$
$\left| \begin{array}{ccc} -2+3 & 0 & 1 \\ 0 & 13+3 & 0 \\ 1 & 0 & -2+3 \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right| \Rightarrow q_3 = t\cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right).$
Vektory q jsou ortogonální, a podle postuju je znormalizuji
$q_1 = \frac{q_1}{||q_1||} = \frac{[0,1,0]}{\sqrt{0+1^2+0}}=[0,1,0]$
$q_2 = \frac{q_2}{||q_2||} = \frac{[1,0,1]}{\sqrt{1^2+0+1^2}}=[\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$

$q_3 = \frac{q_3}{||q_3||} = \frac{[-1,0,1]}{\sqrt{(-1)^2+0+1^2}}=[-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$
moje puvodi matice Q, myslel jsem si ze se to neortonormalizuje, tak jsem zkusil ověřit $Q*Q^T=I$ , ale to taky nevyslo
$\textit{Matice Q}=\begin{pmatrix}q_1\\ q_2\\ q_3 \end{pmatrix}= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$

chybný kousek řešení, o kterém je debata dál v tématu Zobrazit/skrýt!

Správný zápis zkoušky

takze jsem vektory ortonormalizoval a dostal se do uplne slepe ulicky kde mam
$Q=\begin{pmatrix}q_1\\ q_2\\ q_3 \end{pmatrix}= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)$
$\tex{Matice D}= \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3 \end{pmatrix}= \left( \begin{array}{ccc} 13 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$

vanok · 02. 01. 2012 22:05

Ahoj ↑ oglop:,
Relacia co treba overit je Q*D*Qt = A a nie co si napisal.
A toto dokonale funguje.

oglop · 02. 01. 2012 22:43 — Editoval oglop (02. 01. 2012 22:51)

↑ vanok:
A muzes mi to rozepsat nebo poslat odkaz na nejake kalkulačce? už jsem zkoušel snad šechno ..
a ktera Q je ta spravna?

PS. ted se snazim to psat do wolframu .. vysledky sem hodim

Q*D*Qt wolfram

Qt*D*Q se skoro = A

jelena · 02. 01. 2012 22:50

↑ oglop:

Zdravím, v úvodním tématu pro spektrální rozklady mám i šablonu pro vložení zkoušky - na závěr 1. příspěvku tématu - myslím, že opět máš přehozeno.

oglop · 02. 01. 2012 22:52 — Editoval oglop (02. 01. 2012 22:56)

↑ jelena:
Dyt rikam ze to je Qt*D*Q = A .. ale proč mam ty postranni čísla větší? nespim z toho 3 dny

Qt*D*Q se skoro = A

jelena · 02. 01. 2012 23:26

Už je to v pořádku? Děkuji.

oglop · 02. 01. 2012 23:33

↑ jelena:

To sem blázen a proč mi to teda 3 dny nešlo? ach jo ..

Děkuju

jelena · 02. 01. 2012 23:46

↑ oglop:

:-) jak rozsáhlou chceš zprávu s analýzou "proč to 3 dny nešlo"?

Já bych navrhovala označit za vyřešené. Může být? A ať se vede.

vanok · 02. 01. 2012 23:56

↑ oglop:
a teraz som skusil aj toto
http://www.wolframalpha.com/input/?i=di … 2C0%2C-2}}

JA som to pocitqal rucne z $Q= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array}\right)$

A pochopitelne obe metody su equivalentne.

Pavel Brožek

↑ oglop:

Pokusím se to shrnout.

Jordanův rozklad vypadá $A=XDX^{-1}$ , kde X je matice, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory.

a) Pokud jsou vlastní vektory v X ortonormální, platí $X^T=X^{-1}$ a můžeme psát $A=XDX^T$ .
b) Pokud chci použít místo matice $X$ matici $Q=X^T$ , kde vlastní vektory budou řádky (to je ta, co jsi používal ty), pak bude rozklad $A=Q^TD(Q^T)^{-1}=(Q^{-1}DQ)^T$ .
c) Kombinace a) a b): pokud budu chtít použít Q a vektory budou ortonormální, pak $(Q^T)^{-1}=(Q^{-1})^{-1}=Q$ a tedy $A=Q^TDQ$ .

Problém byl v tom, že jsi postupoval podle bodu c a přitom jsi neměl ortonormální vektory. To je podle mě odpověď na otázku proč to tři dny nešlo. Nicméně jak ti Jelena ukázala, už na začátku jsi měl správnou matici Q s ortonormálními vektory, pro ni vzoreček $A=Q^TDQ$ vychází.

jelena · 03. 01. 2012 23:11

↑ Pavel Brožek:

:-) moc děkuji. Pochybuji, že bych tak podrobnou a užitečnou analýzu vytvořila (pokud vůbec nějakou).

Zdravím.

Pavel Brožek · 03. 01. 2012 23:58

↑ jelena:

Zdravím,

vůbec nemáš zač, hádám, že ta analýza byla nejprospěšnější pro mě, protože si stále nemůžu zapamatovat, jak ten rozklad přesně vypadá. Jestli je nejdřív inverzní nebo ne a jestli jsou vektory jako řádky nebo sloupce. Teď už jsem si to snad dostatečně ujasnil :-).

jelena · 04. 01. 2012 14:10

↑ Pavel Brožek:

:-) potom bys po "dostatečném ujasnění" měl ujasněné usilovně procvičovat - deadline spektrálních rozkladů na VŠB je 07.01.2012, ale velmi doufám, že antispektrální téma dokáže ochránit od útoků BOI.

Označím za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2012 19:49 — Editoval oglop (02. 01. 2012 23:00)

spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#2 02. 01. 2012 22:05

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#3 02. 01. 2012 22:43 — Editoval oglop (02. 01. 2012 22:51)

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#4 02. 01. 2012 22:50

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#5 02. 01. 2012 22:52 — Editoval oglop (02. 01. 2012 22:56)

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#6 02. 01. 2012 23:26

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#7 02. 01. 2012 23:33

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#8 02. 01. 2012 23:46

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#9 02. 01. 2012 23:56

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#10 03. 01. 2012 00:22 — Editoval Pavel Brožek (03. 01. 2012 01:18)

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#11 03. 01. 2012 23:11

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#12 03. 01. 2012 23:58

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

#13 04. 01. 2012 14:10

Re: spektralni rozklad matice - vysledek potvrdil wolfram, zkouska nejde

Zápatí