Matematické Fórum

hamii · 09. 01. 2012 14:30

Chtěl bych se zeptat, jakto že u řady suma od n=1 do plus nekonecna ze sin(pi * n) je nutná podmínka konvergence splněna a u řady suma od n=1 do plus nekonecna ze sin(3 * n) podmínka splněná není.
Děkuju za vysvětlení.

vanok · 09. 01. 2012 14:35

↑ hamii:
$\sin(n \pi )=0$
a $\sin(3n )\ne 0$ ( OTAZKA:preco? )

hamii · 09. 01. 2012 15:53

jakto, že
$\lim_{n \to \infty}\sin (n \pi) = 0$ , tudíž podmínka konvergence splněna je a
$\lim_{n \to \infty}\sin (3n) \ne 0$ , tudíž podmínka konvergence splněna není

Rumburak

↑ hamii:

1) Čemu se triviálně rovnají hodnoty $\sin (n \pi)$ pro přirozená čísla n ?

2) Ukaž, že ke každému M > 0 existují přirozená čísla $n > M , k$ taková, že

$(4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} \,-\, \frac{\pi}{4} \, <\, 3n\, < \,(4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} \,+\, \frac{\pi}{4}$ .

Co to znamená pro hodnotu $\limsup_{n \to \infty} \sin 3n$ ?

hamii · 09. 01. 2012 16:38

Otázka zní: U kterého z výrazů je splněná podmínka konvergence řady? Já potřebuju pochopit, proč u jednoho splněna je a u druhého není:

$\sum_{n=1}^{+\infty}sin(\pi n)$
$\sum_{n=1}^{+\infty}sin(3n)$

Rumburak · 09. 01. 2012 16:56

↑ hamii:

hamii napsal(a):
...Já potřebuju pochopit, proč u jednoho splněna je a u druhého není ...
$

Přesně k tomu Tě chci navést.

hamii · 09. 01. 2012 17:05

↑ Rumburak:
Joo už jsem pochopil ten tvuj bod 1) :-) To vžycky vyjde 0, protože to jsou jenom násobky $\Pi$
To druhé je přes srovnávací kritérium?

Rumburak · 09. 01. 2012 21:46

↑ hamii:
Ten bod 1) jsi pochopil správně :-).

Nyní k tomu bodu 2) : Z průběhu funkce sinus vyplývá, že je-li splněn výrok

$V(x)$ $(4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} \,-\, \frac{\pi}{4} \, <\, x\, < \,(4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} \,+\, \frac{\pi}{4} , \text{kde} k \text{je některé celé číslo}$ ,

potom je též splněn výrok

$W(x)$ $\frac {\sqrt{2}}{2} < \sin x \le 1$ ,

neboť $\frac {\sqrt{2}}{2} = \sin \left((4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} \,-\, \frac{\pi}{4} \right)= \sin \left((4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} \,+\, \frac{\pi}{4} \right)$ , $\sin (4k + 1)\!\cdot\! \frac{\pi}{2} = 1$ .

Takže je-li $(a_n)$ taková posloupnost, že pro nekonečně mnoho jejích členů $a_n$ je splněn výrok $V(a_n)$ , potom pro tytéž členy platí $W(a_n)$ ,
z něhož cosi vyplývá o čísle $\limsup_{n \to \infty} \sin a_n$ a odtud čísle $\lim_{n \to \infty} \sin a_n$ , pokud existuje .

K důkazu, že pro nekonečně mnoho přirozených čísel $n$ je splněn výrok $V(3n)$ , využijeme, jak odhaduji, následujících faktů:

I. číslo $\pi$ je irracionálním číslem,
II . součin irracionálního čísla nenulovým racionálním je irracionální číslo,
III. v každém (neprázdném) otevřeném intervalu leží nějaké racionální číslo (dokonce nekonečně mnoho racionálních čísel).

Samozřejmě musíme také vědět, co to znamená, že reálné číslo je racionální resp. irracionální.

Rumburak · 10. 01. 2012 09:30

↑ hamii:
Dostal jsem jednodušší nápad. Zvolíme-li $\delta \in \left(0, \pi \right)$ tak, aby $\pi - 2\delta > 3$ , potom každý z intervalů

$I_k :=\left(\delta + 2k\pi, \pi -\delta + 2k\pi\right) , k = 0, 1, 2, ...$

má délku větší než 3 a tudíž obsahuje jistá 3 po sobě následující přirozená čísla $m_k, m_k +1, m_k +2$ .
Co můžeme o této trojici čísel usoudit ?