Matematické Fórum

jahodka007

ahojte,
mam problem s vyrazom $\pi$ v limitach ... a preto mi robia problemy aj niektore priklady a prosim o radu, prip. pomoc pri rieseni aj inych prikladov:

$\lim_{x\to\frac{\pi }{3}}\frac{1-2cosx}{\pi -3x}$

$\lim_{x\to2}\frac{3tg\pi x}{2-x}$

$\lim_{x\to0}\frac{x^{3}+\pi x}{sin3x}$

$\lim_{x\to\frac{\pi }{2}}\frac{arctg(x-\frac{\pi }{2})}{\pi -2x}$

$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-3x-1}{sin^{2}(-x)}$

$\lim_{x\to\infty }\frac{3^{x}-4}{x^{2}+8x}$

Alkac · 10. 01. 2012 12:09

Pi je cislo jako kazde jine, netreba se ho nejak obavat:-)

1) cos ma v tom bode limitu 1/2 takze mas limitu typu 0/0, zderivuj citatel i jmenovatel a dostanes jednoduchou limitu. Reseni by melo byt odmocina ze tri deleno minus 3.

2)tangens 2pi je nula, 2-2 je nula,Hospital....nebo to muzes prepsat jako limitu pro x jdouci k nule z 3tanx/x a to ma limitu 3, ale musis si promyslet, proc to vlastne smis udelat (doufam ze jsem to nesplet,delam to z hlavy)

3)opet muzes pouzit Hospitala, nebo to roztrhnout na dve limity a pouzivat to, ze sin x/x ma lim 1 pro x jdouci k nule. Vysledek by mel byt pi/3

4)opet Hospital, nebo to ze arctg x/x jde k 1 pro x jdouci k nule. Ja bych to treba vynasobil i vydelil x - pi/2, pak pouzil tu lim arctg x/x (akorat misto x mas x - pi/2). Dostanes (x - pi/2)/(pi - 2x) dole vytknes dvojku a mas to.

5)Zase to same...exp(x)-1/x jde k jedno pro x jdouci k nule a sinx/x jde taky k jedne. Nebo derivovat...

6)to je nekonecno, protoze ta exponenciala roste mnohem rycheji nez jmenovatel.

Snad to mam spravne, napsal jsem to ted v rychlosti, ale urcite doporucuju nepouzivat jen ten Hospital, ale i postupy jako jsem naznacil ve 4, casto to diky tomu uvidis primo z hlavy

Prochycz

Zdravim,
pokud jde o L'Hopitala, tak akorát zderivuješ čitatele a jmenovatele samostatně.
Např. 1 příklad:
$\lim_{x\to\frac{\pi }{3}}\frac{1-2cosx}{\pi -3x}=\frac{0}{0}$ , takže lze využít L'Hopitalovo pravidlo, takže následně zderivuješ čitatele a jmenovatele:
$(1-2cosx)'=2sinx\nl(pi-3x)'=-3$ a to můžeš vyměnit za původní zlomek:
$\lim_{x\to\frac{\pi }{3}}\frac{2sinx}{-3}=-\frac{1}{\sqrt(3)}$ , pokud by výraz vyšel znova $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ , můžeš opět použít L'Hopitala donekonečna, pokud to pomůže.
Edit:Trochu pozdě no :-)

Alkac · 10. 01. 2012 12:42

Ale opravdu doporucuju toho Hospitala nedelat, pokud to neni nutne. Co treba limita pro x k nule:

[(arctgx)^57 * (sinx)^123 * (e^x-1)^444 * (tgx)^777] / x^1401

Vysledek jde videt z hlavy (je to jedna), ale Hospitalem bych na to sel nerad:-)

jahodka007 · 10. 01. 2012 15:20

dakujem vam obom :)

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2012 11:33 — Editoval jahodka007 (10. 01. 2012 11:35)

L Hospitalovo pravidlo

#2 10. 01. 2012 12:09

Re: L Hospitalovo pravidlo

#3 10. 01. 2012 12:14 — Editoval Prochycz (10. 01. 2012 12:25)

Re: L Hospitalovo pravidlo

#4 10. 01. 2012 12:42

Re: L Hospitalovo pravidlo

#5 10. 01. 2012 15:20

Re: L Hospitalovo pravidlo

Zápatí