Matematické Fórum

jrn · 11. 01. 2012 21:43

Zdravím, potřeboval bych pomoct s tímto důkazem. Předem děkuji za reakce.

Dokazuji že $lim_{n \to \infty }\Sigma _{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = e$
ale vůbec mi to nejde, neumím nijak sečíst sumu. Jediné co jsem jaksi realizoval je, že
$a_n\le\Sigma _{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \le e$
$a_n = $1+\frac1n $^{\frac1n}$
ani na nikde na internetu jsem nenašel tenhle, myslím, že známý důkaz.

Alkac · 11. 01. 2012 22:41

Rozved si exponencialni funkci do Taylorovi rady a pouzij Abelovu scitaci metodu (limita pro x jdouci k jedne zleva z te Taylorovi rady).

Lim znamena lim pro x jdouci k 1.
e = lim e^x = lim rada(x^n/n!) = rada lim(x^n/n!) = rada(1/n!)

vanok · 11. 01. 2012 22:45

Ahoj ↑ jrn:,
Toto cvicenie nie je tazke, ale treba vediet ako ste definovali cislo e.
A cely dokaz sa potom okolo toho vykonava.
Tak prosim ta napis ako vas pan profesor definoval cislo e.
A potom mozme ist spolu dalej.

jrn · 11. 01. 2012 22:54 — Editoval jrn (11. 01. 2012 23:01)

↑ Alkac:
bohužel ani jedno neznám :-/potřeboval bych to dokázat elementárněji.

↑ vanok:
no máme ho právě definované jako společnou limitu posloupností a_n, b_n a právě této řady.
$a_n=$1+\frac1n$^n$ $b_n= $1+\frac1n$^{n+1}$

jakysi dukaz pro toto ve skriptech mám, ale pořádně mu nerozumím..
díky za další pomoc

vanok · 11. 01. 2012 23:13

↑ jrn:,
Dobre tak ti navrhnem metodu prace:
(inac ak su tvoje skripta na internete, napis kde ...a poradim este lepsie... ked to prebehnem takych 5 minut)
POZNAMKA: ta nerovnost z e, co pises to je priliz skoro!, tak zatial zabudni na nu

PRVA ETAPA:
Pouzi binomialny vzorec (NEWTON-OV)
$a_n=$1+\frac1n$^n$ a od tial po malych upravach dokaz ze

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$a_n\le\Sigma _{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$

vanok · 11. 01. 2012 23:17 — Editoval vanok (11. 01. 2012 23:20)

DRUHA ETAPA:
este jednoduchsie ako v prvej etape dokaz, ze
$\Sigma _{k=0}^{n-1} \frac1{k!} \le a_n$
POZOR V SUME JE n-1

A zvysok sa my zda ozaj jednoduchy, lebo vyuziva jednoducho definiciu, co si vyssie napisal, cisla e.

jrn · 11. 01. 2012 23:25 — Editoval jrn (11. 01. 2012 23:28)

↑ vanok:
díky, takže na to pustím binomickou větu, to už jsem zkoušel, zítra to sem hodím, dnes už sem hotovej..
skripta jsou, ale musel by jste si je stáhnout, jestli chcete, tak tady jsou.
http://www.ulozto.cz/12475132/posta-pry-u-zk-pdf
zatím díky za pomoc :-)
str 21 - eulerovo číslo

vanok · 11. 01. 2012 23:33 — Editoval vanok (11. 01. 2012 23:38)

↑ jrn:,
Dobre prebehnem ich.
A este pomocna poznamka
$(1-\frac kn)<1$ k tomu hint co som skryl
NA cely dokaz, treba maxi 10 minut... aj z rozmyslanim.

Inac mas v skryptach aj nerovnosti ako (14) na str 21 ... co je presne ta co treba pouzit v prvej (mojej) etape...
Inac som ten (moj) navrhnuty dokaz dal presne podla definicie co si mi vyssie napisal.

jrn · 11. 01. 2012 23:54 — Editoval jrn (12. 01. 2012 00:17)

↑ vanok:
ta nerovnost (14) mi právě dělá problém. Když přepíšu $a_n=$1+\frac1n$^n$ pomocí binomicke věty na
$\Sigma _{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k}$ to je jasné, potom právě nevím, proč poslední závorka vypadá jako (n-k-1) , protože n! = n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1). nevím jak tam dostat to "k"

EDIT už to možná vidím.. zítra ráno hodím postup. Ted už du spát. Děkuji Vám za pomoc a zítra za kontrolu :-))

$\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$ ?

$\Sigma _{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{1}{n^k} = \Sigma _{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\frac{ n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n^k}$
a protože v jmenovateli je $n\cdot n \cdot n .... \cdot n$ jakoby dokud počet n = k , a stejně v čitateli tak mužu ty závorky všechny vydělit n^k a pak mi vyjde nerovnost (14) jako ve skriptu