Matematické Fórum

Melchior

Zdravím, dnes podruhé prosím o pomoc při výpočtu integrálu, tentokrát dvourozměrného.

Mám-li sdružené rozdělení vektoru (X,Y), které má rozdělení dáno hustotou
$f(x,y) = a sin(x+y), x,y \in [0,\Pi /2]$

a 0, pokud je tomu jinak

mým úkolem je dopočítat konstantu z vyřešení dvojrozměrného integrálu, položením rovnice 1 = tento integrál:
$\int_{0}^{\Pi /2}\int_{0}^{\Pi /2} a sin(x+y) dxdy$

vím, že konstantu vytknu před dvojici integrálů a sin(x+y) pravděpodobně rozložím přes vzorec na sinxcosy + cosxsiny ... ale co potom s tím integrálem dál?

Děkuji za každou pomoc.

jardofpr · 18. 01. 2012 12:14

↑ Melchior:

ahoj, no tak skús urobiť najprv to a uvidíš či ťa potom náhodou niečo nenapadne ;-)

Melchior

↑ jardofpr:

samozřejmě, že jsem to již udělal a kdyby mne něco napadlo, tak sem nepíši :/ to, co jsem napsal je vše, co jsem udělal.. vím, že má vyjít $a = \frac{1}{2}$ (wolfram), ale zkrátka nevím, jak to upravit..

edit: je možná substituce x+y = z?

jardofpr

↑ Melchior:

oki :)

tak si sa dostal teda ku $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a(\sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y})dxdy$ a tam si sa zasekol hej? či ešte ďalej niekde?

Melchior

↑ jardofpr:

ano.. presne to,co jsem napsal, nicmene mam jeden postup "odjinud" ktery ale nevim jestli je spravny.. a sice to, ze nejdriv integruji vnitni integral (dejme tomu dx) s tim, ze y beru jako parametr tudiz by mi vysel

$a\int_{0}^{\Pi /2} [-cos(x+y)]^{\Pi /2}_{0} dy$

a pak bych dal resil.. nicmene prijde mi to takovy divny a radeji si necham poradit

jardofpr · 18. 01. 2012 12:37

↑ Melchior:

a kam zmizlo to a?

Melchior · 18. 01. 2012 12:39

↑ jardofpr:

s a počítám jako s konstantou, je vytknutá před integrálem.. to není důležité, záleží mi na postupu výpočtu integrálu.. ale díky za upozornění, sic je to jen detail

rleg · 18. 01. 2012 13:15

↑ Melchior: Já bych to "sprostě" integroval zhruba takto

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a(\sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y})dxdy=\nl =a \cdot \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin{x}\cos{y})dxdy +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{x}\sin{y})dxdy \right)$

Melchior · 18. 01. 2012 13:24

↑ rleg:

díky, skutečně to po přepočítání vyšlo, že a = 1/2
ono to asi jde takhle udělat, protože sinx i cosx jsou > 0 na intervalu (0, pi/2), jinak by ta linearita neplatila, ne?

rleg · 18. 01. 2012 14:22

↑ Melchior: Nejsem si jist, ale myslím, že tohle by vliv mít nemělo

Melchior · 18. 01. 2012 14:36

↑ rleg:

pravda, už jsem si to ověřil když si vezmu definici určitého integrálu jako plochy pod křivkou a budu-li počítat integrál ze sinx od nuly do 2 pí tak je to stejné, jako když počítám integrál ze sinu x od 0 do pí + to samé od pí do 2 pí (první integrál vyjde 0, druhý 2 + (-2)) .. toto už se mi nechtělo psát v texu, každopádně děkuji opět za pomoc :-)

jardofpr

↑ Melchior:

tá linearita integrálu platí pre ľubovoľný konečný počet ľubovoľných integrovateľných funkcií na prieniku ich definičných oborov ;-)

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2012 12:12 — Editoval Melchior (18. 01. 2012 12:12)

určitý integrál (dvojrozměrný)

#2 18. 01. 2012 12:14

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#3 18. 01. 2012 12:17 — Editoval Melchior (18. 01. 2012 12:20)

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#4 18. 01. 2012 12:22 — Editoval jardofpr (18. 01. 2012 12:29)

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#5 18. 01. 2012 12:26 — Editoval Melchior (18. 01. 2012 12:40)

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#6 18. 01. 2012 12:37

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#7 18. 01. 2012 12:39

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#8 18. 01. 2012 13:15

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#9 18. 01. 2012 13:24

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#10 18. 01. 2012 14:22

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#11 18. 01. 2012 14:36

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

#12 18. 01. 2012 15:00 — Editoval jardofpr (18. 01. 2012 15:01)

Re: určitý integrál (dvojrozměrný)

Zápatí