Matematické Fórum

Alexandra44441 · 23. 01. 2012 17:51

Ahoj lidi,
potřebuju poradit. Musím vymyslet nějakou snadno integrovatelnou funkci, například něco podobného jako je $u=-t^{1\setminus 2n+1}$ tak, aby její norma byla $\parallel u\parallel =1$ . Děkuji předem.

Alexandra44441 · 23. 01. 2012 18:58

↑ Alexandra44441:Ono to zadání zní: určete normu funkcionálu f definovaného noa prostoru $C[-1,1]$ předpisem: $f(u)=\int_{-1}^0u(t)dt-\int_{0}^{1}u(t)dt$ . Ověřila jsem linearitu i omezenost funkcionálu, což jsou podmínky, které musí platit ale už se mi nedaří vymyslet nějakou snadno integrovatelnou funkci tak, aby funkční posloupnost , jejiž norma je rovna jedné.

jardofpr

↑ Alexandra44441:
ahoj,

ak tomu rozumiem správne, našla si kandidáta $M$ na ohraničenie funkcionálu $f$ a teraz chceš nájsť postupnosť funkcií $\{u_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subset C[-1,1],\|u_{n}\|=1$ takých, že
$\forall \varepsilon > 0\quad \exists N(\varepsilon)\in \mathbb{N} : \forall n \in \mathbb{N};n > N(\varepsilon) : |M-f(u_{n}) | < \varepsilon$
tak?

vanok · 23. 01. 2012 19:54

↑ Alexandra44441:,
Mala otazka/
O aku normu ide?

Alexandra44441 · 23. 01. 2012 20:29

↑ vanok:Na prostoru $C[-1,1]$ vybereme z ekvivaltentních norem maximovou normu $||u||=max_{t\in[-1,1]}|u(t)|$ . Pro lineární omezený funkcionál je norma funkcionálu definována vztahem $||f||_\ast=sup|f(u)|$ , $||u||=1.$ . Takže já jsem vlastně zjistila, zda je funkcionál lineární a omezený, a teď potřebuji najít nějakou funkční posloupnost tak, aby její členy vyhovovali podmínce $||u||=1.$

vanok · 23. 01. 2012 20:39

↑ Alexandra44441:,
Pre normu $\max$ mozes vybrat napr. u take
$u(x)=0$ ak $x\in [-1;0]$
$u(x)=x$ ak $x \in ]0;1]$

Alexandra44441 · 24. 01. 2012 09:38

↑ jardofpr:Přesně tak, jak píšeš.

Alexandra44441 · 24. 01. 2012 09:40

↑ jardofpr:Dívala jsem se k spolužákovi a on tam uvádí jako příklad posloupnost funkcí, kterou jsem uvedla v zadání dotazu. No samozřejmě tam nemůžu uvádět tu samou, takže proto potřebuji vymyslet něco jiného ale aby to vyhovovalo té podmínce a aby to bylo snadno integrovatelné.

jardofpr · 25. 01. 2012 07:20

↑ Alexandra44441:

toto by mohlo spĺňať všetko čo je treba

$u_{n}(t): [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}$
$t \in \bigg[ -1,-\frac{1}{n} \bigg] \Rightarrow t \mapsto 1$
$t \in \bigg( -\frac{1}{n},\frac{1}{n} \bigg) \Rightarrow t\mapsto -nx$
$t \in \bigg[ \frac{1}{n},1\bigg] \Rightarrow t \mapsto -1$

Alexandra44441 · 25. 01. 2012 10:57

↑ jardofpr:Nevím, zda-li jsem to pochopila, jak by tedy tá funkční poslounost vypadala, když bude t patřit do těch intervalu? tedy : $u(t)=?$

jardofpr

↑ Alexandra44441:

no, skús si to nakresliť pre niekoľko prvých n,
zvoľ si najprv n=1, ten predpis bude vyzerať o niečo menej komplikovane, v intervaloch a v predpise -nx budú tým pádom čísla a je jednoduchšie to nakresliť
potom si urob n=2, ak bude treba tak ešte aj n=3, uvidíš kam to asi speje

ono nie je dôležité ako vyzerajú funkcie ktoré vystupujú ako členy tej postupnosti (hoci bude dobre aby si videla čo je to zač, a teda si to nakreslila),
dôležitejšie je, že sú spojité, že majú normu 1, ale hlavne že
postupnosť $f(u_{n})$ je zhora ohraničená číslom 2 (čo by pri správnych odhadoch mal byť kandidát na normu funkcionálu f), pričom sa k dvojke dostane ľubovoľne blízko,
teda keď si zvolíš ľubovoľnú presnosť E>0,
bude v tej postupnosti člen, od ktorého už obrazy všetkých nasledujúcich členov pri zobrazení cez funkcionál f budú vzdialené od 2 menej ako E
tým sa potvrdí že norma je 2 (písala si že ohraničenie si spravila, takže by si mala mať dvojku ako horný odhad normy)

Alexandra44441 · 25. 01. 2012 18:34

↑ jardofpr: Nevím teda, jak ale mám chápat ten jeho předpis v zadání dotazu, když on tam to t vůbec nějak nekonkretizoval.

jardofpr

↑ Alexandra44441:

no, ten jeho predpis by som chápal tiež ako postupnosť,
všimni tam to $n$ v menovateli exponenta,
ak sa jeho funkcie zoradia do postupnosti (od n=1 do nekonečna), každá funkcia bude iná,
pričom táto postupnosť bude rovnako spĺňať všetky podmienky ktoré som opísal vyššie

ak by to mala byť len jedna funkcia, pre nejaké pevné n, k riešeniu by to tu nijak nepomohlo

tak ma napadá, chápeš prečo sa to všetko robí tak ako sa to robí v tom príklade?
vieš čo hľadáš a prečo to hľadáš?

Alexandra44441 · 26. 02. 2012 12:26

↑ jardofpr:Děkuji, má to být přesně takto, uvidíme, co mi napíše.

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2012 17:51

Norma funkcionálu

#2 23. 01. 2012 18:58

Re: Norma funkcionálu

#3 23. 01. 2012 19:40 — Editoval jardofpr (23. 01. 2012 20:44)

Re: Norma funkcionálu

#4 23. 01. 2012 19:54

Re: Norma funkcionálu

#5 23. 01. 2012 20:29

Re: Norma funkcionálu

#6 23. 01. 2012 20:39

Re: Norma funkcionálu

#7 24. 01. 2012 09:38

Re: Norma funkcionálu

#8 24. 01. 2012 09:40

Re: Norma funkcionálu

#9 25. 01. 2012 07:20

Re: Norma funkcionálu

#10 25. 01. 2012 10:57

Re: Norma funkcionálu

#11 25. 01. 2012 13:07 — Editoval jardofpr (25. 01. 2012 13:08)

Re: Norma funkcionálu

#12 25. 01. 2012 18:34

Re: Norma funkcionálu

#13 25. 01. 2012 19:09 — Editoval jardofpr (25. 01. 2012 19:09)

Re: Norma funkcionálu

#14 26. 02. 2012 12:26

Re: Norma funkcionálu

Zápatí