Matematické Fórum

Janbabica · 26. 01. 2012 14:59

Ahoj
Mám problém s jedním typem příkladů. Prosím jestli někdo víte jak to řešit pls poraďte.

Příklad

Rotačnímu válci o poloměru podstavy R a výšce H opište rotační kužel nejmenšího objemu.

Rumburak · 26. 01. 2012 15:27

Ahoj.

I když to není v zadání výslovně uvedeno, uvažujme takové kužele, které mají s válcem společnou osu (jinak by šlo u úlohu
mnohem vyšší obtížnosti), jedna z podstav válce zároveň bude částí podstavy kužele (při tom půjde o soustředné kruhy).

Je zřejmé (nakresli si obrázek), že hledaný rotační kužel bude mít výšku h > H a poloměr podstavy r > R. Pomocná otázka:
Jaký vztah musí dále být mezi čísly h, r, aby kužel byl opsán válci, tj. aby obvodová kružnice druhé podstavy válce byla
částí pláště kužele ?

Janbabica · 26. 01. 2012 15:44

↑ Rumburak:

Já sem si skusil nakreslit obrázky napsal sem si vzorečky, ale nenašel sem nic s čím bych byl schopnej pohnout.
Neumím sestavit tu funkci , která by mi ten poměr udávala.

Rumburak

↑ Janbabica:
A jak Ti vyšel ten vzoreček svazující čísla r , h , aby to dalo opsaný kužel ? (Zaměř pozornost na podobné pravoúhlé trojúhelníky.)

Janbabica · 26. 01. 2012 20:12

$\mathbb{R}^{2_{_{}}}=\text{V}\setminus \Pi \cdot \text{h}$ ↑ Rumburak:

.....Tady mám vyjádřený R. (Samozřejmě eště pod odmocninou)....ale nevím jak to dosadit do druhýho vzorce

Rumburak

↑ Janbabica:

V matematice je důležité m.j. pečlivě dodržovat zvolenou symboliku včetně označení proměnných.
Vzorcem, který jsi uvedl (předpokládám, že to mělo být $R^2=\frac{V}{\pi H}$ případně $R= \sqrt{\frac{V}{\pi H}}$ ),
je vyjádřeno, jaký je poloměr R VÁLCE při jeho objemu V a výce H. Ale toto není to, k čemu jsem Tě chtěl přivést.
Důležitou roli v řešení úlohy hraje podrobná analýza vztahu "kužel je opsán válci".

V náryse vypadá situace z úlohy (její část od svislé osy válce do prava) shruba takto:

.
.
.
.
.
.
A .
.
.
................. .
. .
. .
B . C .
. .
..............................

Obdélník B (s vodorovnou stranou R a svislou H) je průmětem poloviny daného válce,
trojúhelník složený z obrazců A, B, C (nazvěme ho třeba T) je průmětem poloviny některého z kuželů opsaných tomu válci.
Když předpokládáme , že TENTO KUŽEL má poloměr podstavy r a výšku h, potom jaký je vztah mezi r, h ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Známe-li tedy poloměr $r$ opsaného kužele, můžeme vypočítat jeho výšku $h$ a naopak. Můžeme si proto zvolit, kterou z proměnných $r, h$
budeme považovat za nezávislou. Nechť je to třeba $r > R$ (připadá mi, že by to mohlo být z hlediska početního o něco výhodnější).
Ze skrytého vztahu (1) vyjádříme $h = h(r)$ a to dosadíme do známého vzorce $V = \frac{1}{3}\,\pi r^2 h$ pro objem kužele, tím dostaneme

$V = V(r) := \frac{1}{3}\,\pi r^2 h(r)$

jako funkci proměnné $r \in (R, +\infty)$ (s parametry $R>0, H>0$ ) a můžeme vyšetřovat její průběh.

Janbabica · 27. 01. 2012 11:28

↑ Rumburak:

Díky moc si mi pomohl. A sry , že sem s takovou blbostí otravoval.

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2012 14:59

diferenciální počet

#2 26. 01. 2012 15:27

Re: diferenciální počet

#3 26. 01. 2012 15:44

Re: diferenciální počet

#4 26. 01. 2012 15:58 — Editoval Rumburak (26. 01. 2012 16:48)

Re: diferenciální počet

#5 26. 01. 2012 20:12

Re: diferenciální počet

#6 27. 01. 2012 10:51 — Editoval Rumburak (27. 01. 2012 11:05)

Re: diferenciální počet

#7 27. 01. 2012 11:28

Re: diferenciální počet

Zápatí